Арккосинус

Что такое арккосинус? Для чего вводится понятие арккосинуса?

Функция y=cosx не является монотонной на всей своей области определения. Поэтому для нахождения обратной функции выбираем промежуток [0;π], на котором косинус убывает, то есть выполняется условие обратимости функции:

arkkosinus

1) В формулу y=cos x вместо x подставим y, вместо y — x:

x=cos y.

2) Из этого равенства нужно выразить y через x. Для этого вводится определение арккосинуса (арккосинус икс обозначают как arccos x).

Определение.

Арккосинусом числа a называется такое число b из промежутка [0;π], косинус которого равен a:

    \[\arccos a = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b \in \left[ {0;\pi } \right]\\ \cos b = a \end{array} \right.\]

opredelenie-arkkosinusa

Отсюда решение уравнения x=cos y на промежутке [0;π] — y=arccos x.

Функция y=cos x рассматривается для x∈[0;π] и принимает на этом промежутке значения y[-1;1]. Соответственно, область определения обратной функции y=arccos x — x∈[-1;1], область значений - y∈[0;π].

Таблица значений косинусов на промежутке [0;π] -

    \[\begin{array}{*{20}{c}} b&\vline& 0&\vline& {\frac{\pi }{6}}&\vline& {\frac{\pi }{4}}&\vline& {\frac{\pi }{3}}&\vline& {\frac{\pi }{2}}\\ \hline {\cos b}&\vline& 1&\vline& {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& {\frac{1}{2}}&\vline& 0 \end{array}\]

    \[\begin{array}{*{20}{c}} b&\vline& {\frac{{2\pi }}{3}}&\vline& {\frac{{3\pi }}{4}}&\vline& {\frac{{5\pi }}{6}}&\vline& \pi \\ \hline {\cos b}&\vline& { - \frac{1}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& { - 1} \end{array}\]

Таблица значений арккосинусов -

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&\vline& { - 1}&\vline& { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& { - \frac{1}{2}}\\ \hline {\arccos a}&\vline& \pi &\vline& {\frac{{5\pi }}{6}}&\vline& {\frac{{3\pi }}{4}}&\vline& {\frac{{2\pi }}{3}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&\vline& 0&\vline& {\frac{1}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& 1\\ \hline {\arccos a}&\vline& {\frac{\pi }{2}}&\vline& {\frac{\pi }{3}}&\vline& {\frac{\pi }{4}}&\vline& {\frac{\pi }{6}}&\vline& 0 \end{array}\]

 

Графики взаимно обратных функций y=arccos x и y=cos x (на рассматриваемом промежутке) симметричны относительно прямой y=x:

kosinus-i-arkosinus

В алгебре (в тригонометрии) введение понятия арккосинуса позволяет найти решение простейшего тригонометрического уравнения вида cosx=a.

       

1 комментарий

  • Анон:

    Огромное спасибо,все понятно. На уроке учитель разжевывал два часа и я не понял ничего. А тут как два пальца))

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>