Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение — это уравнение вида

    \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0,\]

где a, b и c — числа, причём a≠0.

Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t. Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0.

По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.

Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

    \[1)4{x^4} - 5{x^2} + 1 = 0\]

Пусть

    \[{x^2} = t,t \ge 0,\]

тогда 

    \[4{t^2} - 5t + 1 = 0\]

Получили квадратное уравнение. Дискриминант

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {( - 5)^2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{5 \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 4}} = \frac{{5 \pm 3}}{8}\]

    \[{t_1} = \frac{{5 + 3}}{8} = 1;{t_2} = \frac{{5 - 3}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]

Оба корня удовлетворяют условию t≥0.

Возвращаемся к исходной переменной:

    \[{x^2} = 1;{x^2} = \frac{1}{4}\]

Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни

    \[{x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = \frac{1}{2};{x_4} = - \frac{1}{2}.\]

Ответ:

    \[ \pm 1; \pm \frac{1}{2}.\]

    \[2){x^4} - 2{x^2} - 8 = 0\]

Замена

    \[{x^2} = t,t \ge 0,\]

    \[{t^2} - 2t - 8 = 0\]

Так как b= -2 — чётное число, дискриминант можно найти по формуле дискриминанта, делённого на 4:

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 2}}{2})^2} - 1 \cdot ( - 8) = 9\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 2}}{2} \pm \sqrt 9 }}{1} = 1 \pm 3\]

    \[{t_1} = 4;{t_2} = - 2\]

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. От корня t=4 возвращаемся к исходной переменной

    \[{x^2} = 4\]

    \[x = \pm 2\]

Ответ: ±2.

    \[3){x^4} - 10{x^2} + 9 = 0\]

Замена

    \[{x^2} = t,t \ge 0,\]

тогда

    \[{t^2} - 10t + 9 = 0\]

Корни приведённого квадратного уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

    \[{t_1} = 9;{t_2} = 1\]

Оба корня удовлетворяют условию t≥0. Возвращаемся к исходной переменной:

    \[{x^2} = 9;{x^2} = 1\]

    \[{x_1} = 3;{x_2} = - 3;{x_3} = 1;{x_4} = - 1.\]

Ответ: ±3; ±1.

В некоторых случаях вывод о том, что  биквадратное уравнение не имеет корней, можно сделать, не решая уравнения. 

    \[4){x^4} + 11{x^2} + 10 = 0\]

Так как

    \[{x^4} \ge 0;11{x^2} \ge 0;10 > 0,\]

то

    \[{x^4} + 11{x^2} + 10 > 0,\]

то есть

    \[{x^4} + 11{x^2} + 10\]

не может быть равным нулю, а значит, данное уравнение не имеет корней (Сумма неотрицательных чисел и положительного числа не может равняться нулю).

Ответ: корней нет.

Аналогично, не имеет корней уравнение

    \[5) - 9{x^4} - 82{x^2} - 1 = 0\]

(Сумма неположительных чисел и отрицательного числа не может равняться нулю).

Если левая часть биквадратного уравнения представляет собой квадрат разности, удобнее свернуть её по формуле и приравнять эту разность к нулю.

    \[6)9{x^4} - 6{x^2} + 1 = 0\]

    \[{(3{x^2} - 1)^2} = 0\]

    \[3{x^2} - 1 = 0\]

    \[{x^2} = \frac{1}{3}\]

    \[x = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \]

    \[x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трёх:

    \[x = \pm \frac{{1 \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}\]

    \[x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]

Ответ:

    \[ \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Биквадратные уравнения — первый вид уравнений, решаемых заменой переменной. В дальнейшем этот метод применяется очень часто при решении уравнений из самых разных разделов алгебры.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>