Чётная функция

Определение.

Чётная функция — это функция y=f(x), для любого значения x из области определения которой  выполняется равенство:

    \[f( - x) = f(x)\]

Из равенства f(-x)=f(x) для любого x из области определения y=f(x) следует, что область определения чётной функции симметрична относительно точки x=0 (то есть если точка x принадлежит области определения функции, то и точка -x также принадлежит её области определения).

В некоторых источниках условие симметрии области определения функции относительно нуля включают в определение чётной функции.

Чтобы доказать, что функция y=f(x) чётная, достаточно показать, что равенство f(-x)=f(x) выполняется при любых значениях x из области определения функции.

Доказать, что y=f(x) не является чётной функцией, можно двумя способами:

1) показать, что равенство f(-x)=f(x) не выполнено;

2) показать, что область определения y=f(x) не симметрична относительно нуля.

Примеры чётных функций:

    \[y = {x^{2n}},n \in Z,\]

    \[y = \left| x \right|,\]

    \[y = \cos x\]

Свойства чётных функций

1) График чётной функции симметричен относительно оси Oy.

Доказательство:

Пусть y= f(x) — чётная функция.

Если точка A (a; b) принадлежит графику функции y= f(x), то b=f(a).

Так как y= f(x) — чётная функция, то f(-a)=f(a)=b.

Значит, точка A1 (-a; b) также принадлежит графику функции y= f(x).

Точки A (a; b) и A1 (-a; b) симметричны относительно оси Оy, то есть ось ординат является для графика функции y= f(x)осью симметрии.

Что и требовалось доказать.

Примеры графиков чётных функций — y=x², y=cos x, y=|х|.

 

2) Сумма, разность, произведение и частное чётных функций являются чётными функциями.

Доказательство:

Пусть f(x) и g(x) — чётные функции, то есть f(-x)=f(x), g(-x)=g(x).

Тогда

    \[f( - x) + g( - x) = f(x) + g(x);\]

    \[f( - x) - g( - x) = f(x) - g(x);\]

    \[f( - x) \cdot g( - x) = f(x) \cdot g(x);\]

    \[\frac{{f( - x)}}{{g( - x)}} = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}.\]

Что и требовалось доказать.

 

Примеры.

Определить, является ли функция чётной:

    \[1)y = 4{x^2} + 7{x^8} - 5;\]

    \[2)f(x) = \frac{{\cos x + 3}}{{5 - {x^2}}};\]

    \[3)g(x) = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right|;\]

    \[4)y = \frac{{3{x^2} + 1}}{{1 - x}}.\]

Решение:

    \[1)y( - x) = 4{( - x)^2} + 7{( - x)^8} - 5 = \]

    \[ = 4{x^2} + 7{x^8} - 5 = y(x).\]

Условие y(-x)=y(x) выполнено. Следовательно, данная функция — чётная.

    \[2)\underline {f( - x)} = \frac{{\cos ( - x) + 3}}{{5 - {{( - x)}^2}}} = \frac{{\cos x + 3}}{{5 - {x^2}}} = \underline {f(x)} ,\]

функция y=f(x) — чётная. 

    \[3)\underline {g( - x)} = \left| { - x + 1} \right| + \left| { - x - 1} \right| = \]

    \[ = \left| { - (x - 1)} \right| + \left| { - (x + 1)} \right| = \]

    \[ = \left| {x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = \underline {g(x)} ,\]

g(x) является чётной функцией.

    \[4)y = \frac{{3{x^2} + 1}}{{1 - x}}\]

1 способ

    \[y( - x) = \frac{{3 \cdot ( - x)^2 + 1}}{{1 - ( - x)}} = \frac{{3x^2 + 1}}{{1 + x}} \ne y(x),\]

данная функция не является чётной.

2 способ

Функция не чётная, так как уё область определения —x∈(-∞;1) и (1;) не симметрична относительно точки x=0.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *