Действия с неравенствами

Какие действия можно выполнять с неравенствами?

Определение

Неравенства вида a>b и c>d называются неравенствами одинакового смысла (одинакового знака, одноимённые).

Неравенства a>b и c<d называются неравенствами противоположного смысла (противоположного знака. разноимённые).

Действия с неравенствами

1) Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

dejstviya-s-neravenstvami

2) Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого производится вычитание.

vychitanie-neravenstv

3) Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.

Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o

umnozhenie-neravenstv

4) Неравенства противоположного смысла ч положительными членами можно почленно делить, оставляя знак того неравенства, которое является делимым.

Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o

delenie-neravenstv

5) Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень.

Для a>0, b>0, k∈ N

если

$a > b,$

то

${{a^k} > {b^k}}$

Верно и обратное: для a>0, b>o, k∈ N

если

${{a^k} > {b^k},}$

то

$a > b.$

Почленное сложение неравенств и другие действия с неравенств используются как в алгебре, так и в геометрии.