Доказательство неравенств

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

Определения

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

a<b, если a-b<o.

3)a≥b, если a-b>0 или a=b (то есть a-b≥0).

4)a≤b, если a-b<0 или a=b (то есть a-b≤0).

 

I. Доказательство неравенств с помощью определения.

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

Примеры.

1) Доказать неравенство: (a+9)(a-2)<a(a+7a).

Доказательство:

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

(a+9)(a-2)-a(a+7a)=a²-2a+9a-18-a²-7a=-18<0.

Поскольку разность равна отрицательному числу,

(a+9)(a-2)<a(a+7a).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что при любом действительном значении переменной x верно неравенство:

9x²+48>30x.

Доказательство:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

9x²+48-30x=(3x)²-2·3x·5+5²-5²+48=(3x-5)²+23.

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

23>0.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

Доказательство:

Выделим полные квадраты в левой части неравенства:

x²+y²+16x-20y=(x²+16x)+(y²-20y)+190=

=(x²+2·x·8+8²)-8²+(y²-2·y·10+10²)-10²+190=(x+8)²+(y-10)²+26.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

26>0.

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

 

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Пример.

Доказать неравенство: (a1b1+a2b2)²≤(a1²+a2²)(b1²+b2²).

Доказательство:

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

(a1b1+a2b2)²>(a1²+a2²)(b1²+b2²).

Значит (a1b1+a2b2)²-(a1²+a2²)(b1²+b2²)>0.

Раскрываем скобки и упрощаем:

a1²b1²+2a1b1a2b2+a2²b2² -a1²b1²-a1²b2²-a2²b1²-a1²b1²>0,

2a1b1a2b2-a1²b2²-a1²b1²>0,

-(a1²b2²-2a1b1a2b2+a1²b1²)>0.

Отсюда

-(a1b2-a1b1)²>0.

Поскольку (a1b2-a1b1)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a1b2-a1b1)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

(a1b1+a2b2)²≤(a1²+a2²)(b1²+b2²).

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Неравенство (a1b1+a2b2)²≤(a1²+a2²)(b1²+b2²) является частным случаем неравенства Коши-Буняковского:

(a1b1+a2b2+…+anbn)²≤(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²).

 

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

 

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Пример.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Доказательство:

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²≥0,

2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0.

Разделим на 2 обе части неравенства:

a²+b²+c²-ab-bc-ac≥0.

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

  • Неравенство Коши:

    \[ \frac{{a_1 + a_2 + ... + a_n }}{n} \ge \sqrt[n]{{a_1 a_2 ...a_n }} \]

при a1>0, a2>0, …, an>0 и n>2.

При a1= a2= …= an неравенство превращается в равенство.

В частности, при a1= a, a2=b, n=2:

    \[ \frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \]

  • Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

при x>0

    \[ x + \frac{1}{x} \ge 2 \]

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

при x<0

    \[ x + \frac{1}{x} \le - 2 \]

  • Неравенство Коши-Буняковского

(a1b1+a2b2+…+anbn)²≤(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²), где n≥2.

Равенство достигается лишь в случае, когда числа xi и yi пропорциональны, то есть существует число k  такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство xi=kyi.

  • Неравенство Бернулли

    \[ (1 + x)^n \ge 1 + nx, \]

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

  • Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

  1. При n<0 и n>1

        \[ (1 + x)^n \ge 1 + nx, \]

  2. При 0<n<1

        \[ (1 + x)^n \le 1 + nx. \]

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

  • Модуль суммы не превосходит суммы модулей

        \[ \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|. \]

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

  • Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

    \[ \left| {a - b} \right| \ge \left| {\left| a \right| - \left| b \right|} \right| \]

 

Примеры.

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

    \[ (x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} . \]

 

Доказательство:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

    \[ \frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \]

для каждого из множителей:

    \[ \frac{{x + a}}{2} \ge \sqrt {xa} ,\frac{{x + b}}{2} \ge \sqrt {xb} ,\frac{{x + c}}{2} \ge \sqrt {xc} ; \]

    \[ x + a \ge 2\sqrt {xa} ,x + b \ge 2\sqrt {xb} ,x + c \ge 2\sqrt {xc} . \]

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

    \[ 2\sqrt {xa} > 0,2\sqrt {xb} > 0,2\sqrt {xc} > 0. \]

Значит, полученные неравенства можем почленно перемножить:

    \[ \frac{\begin{array}{l} x + a \ge 2\sqrt {xa} \\ x + b \ge 2\sqrt {xb} \\ x + c \ge 2\sqrt {xc} \\ \end{array}}{{(x + a)(x + b)(x + c) \ge 8\sqrt {x^3 abc} }} \]

Отсюда

    \[ (x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} . \]

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

    \[ 3^{20} + 4^{20} < 5^{20} . \]

Доказательство:

Очевидно, что

    \[ 3^{20} + 4^{20} < 4^{20} + 4^{20} , \]

то есть

    \[ 3^{20} + 4^{20} < 2 \cdot 4^{20} . \]

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

    \[ 2 \cdot 4^{20} < 5^{20} . \]

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

    \[ \frac{{2 \cdot 4^{20} }}{{4^{20} }} < \frac{{5^{20} }}{{4^{20} }}, \Rightarrow 2 < \left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} . \]

    \[ \left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} = \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} . \]

Применим неравенство Бернулли:

    \[ \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} \ge 1 + 20 \cdot \frac{1}{4}, \]

    \[ \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} \ge 6. \]

Так как в неравенстве 

    \[ 2 < \left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} \]

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

    \[ 3^{20} + 4^{20} < 5^{20} . \]

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *