Доказательство неравенств

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

Определения

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

a<b, если a-b<o.

3)a≥b, если a-b>0 или a=b (то есть a-b≥0).

4)a≤b, если a-b<0 или a=b (то есть a-b≤0).

I. Доказательство неравенств с помощью определения.

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

Примеры.

1) Доказать неравенство: (a+9)(a-2)<a(a+7a).

Доказательство:

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

(a+9)(a-2)-a(a+7a)=a²-2a+9a-18-a²-7a=-18<0.

Поскольку разность равна отрицательному числу,

(a+9)(a-2)<a(a+7a).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что при любом действительном значении переменной x верно неравенство:

9x²+48>30x.

Доказательство:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

9x²+48-30x=(3x)²-2·3x·5+5²-5²+48=(3x-5)²+23.

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

23>0.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

Доказательство:

Выделим полные квадраты в левой части неравенства:

x²+y²+16x-20y=(x²+16x)+(y²-20y)+190=

=(x²+2·x·8+8²)-8²+(y²-2·y·10+10²)-10²+190=(x+8)²+(y-10)²+26.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

26>0.

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Пример.

Доказать неравенство: (a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Доказательство:

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

(a₁b₁+a₂b₂)²>(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Значит (a₁b₁+a₂b₂)²-(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)>0.

Раскрываем скобки и упрощаем:

a₁²b₁²+2a₁b₁a₂b₂+a₂²b₂² -a₁²b₁²-a₁²b₂²-a₂²b₁²-a₁²b₁²>0,

2a₁b₁a₂b₂-a₁²b₂²-a₁²b₁²>0,

-(a₁²b₂²-2a₁b₁a₂b₂+a₁²b₁²)>0.

Отсюда

-(a₁b₂-a₁b₁)²>0.

Поскольку (a₁b₂-a₁b₁)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a₁b₂-a₁b₁)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

(a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Неравенство (a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²) является частным случаем неравенства Коши-Буняковского:

(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²≤(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²).

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Пример.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Доказательство:

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²≥0,

2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0.

Разделим на 2 обе части неравенства:

a²+b²+c²-ab-bc-ac≥0.

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

Неравенство Коши:

$\frac{{a_1 + a_2 + ... + a_n }}{n} \ge \sqrt[n]{{a_1 a_2 ...a_n }}$

при a₁>0, a₂>0, …, a_n>0 и n>2.

При a₁= a₂= …= a_nнеравенство превращается в равенство.

В частности, при a₁= a, a₂=b, n=2:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

при x>0

$x + \frac{1}{x} \ge 2$

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

при x<0

$x + \frac{1}{x} \le - 2$

Неравенство Коши-Буняковского

(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²≤(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²), где n≥2.

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

Неравенство Бернулли

$(1 + x)^n \ge 1 + nx,$

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

При n<0 и n>1
$(1 + x)^n \ge 1 + nx,$
При 0<n<1
$(1 + x)^n \le 1 + nx.$

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

Модуль суммы не превосходит суммы модулей
$\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|.$

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

$\left| {a - b} \right| \ge \left| {\left| a \right| - \left| b \right|} \right|$

Примеры.

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

$(x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} .$

Доказательство:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

для каждого из множителей:

$\frac{{x + a}}{2} \ge \sqrt {xa} ,\frac{{x + b}}{2} \ge \sqrt {xb} ,\frac{{x + c}}{2} \ge \sqrt {xc} ;$

$x + a \ge 2\sqrt {xa} ,x + b \ge 2\sqrt {xb} ,x + c \ge 2\sqrt {xc} .$

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

$2\sqrt {xa} > 0,2\sqrt {xb} > 0,2\sqrt {xc} > 0.$

Значит, полученные неравенства можем почленно перемножить:

$\frac{\begin{array}{l} x + a \ge 2\sqrt {xa} \\ x + b \ge 2\sqrt {xb} \\ x + c \ge 2\sqrt {xc} \\ \end{array}}{{(x + a)(x + b)(x + c) \ge 8\sqrt {x^3 abc} }}$