Дробная степень

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

    \[r = \frac{m}{n},\]

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

    \[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

2) При a=0 и r>0 

    \[{0^r} = 0.\]

В частности,

    \[{a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a \]

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

    \[\sqrt[n]{{{a^m}}} = {(\sqrt[n]{a})^m}\]

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

    \[1){81^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{81}} = 3;\]

    \[2){128^{\frac{5}{7}}} = \sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(\sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;\]

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

    \[3){625^{0,75}} = {625^{\frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(\sqrt[4]{{625}})^3} = \]

    \[ = {5^3} = 125;\]

    \[4){243^{0,4}} = {243^{\frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {\left( {\sqrt[5]{{243}}} \right)^2} = \]

    \[ = {3^2} = 9.\]

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

    \[5){(15\frac{5}{8})^{\frac{2}{3}}} = {(\frac{{125}}{8})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{8})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{8}}})^2} = \]

    \[ = {(\frac{5}{2})^2} = \frac{{25}}{4} = 6\frac{1}{4};\]

    \[6){(12\frac{1}{4})^{1,5}} = {(\frac{{49}}{4})^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{(\frac{{49}}{4})}^3}} = {(\sqrt {\frac{{49}}{4}} )^3} = \]

    \[ = {(\frac{7}{2})^3} = \frac{{343}}{8} = 42\frac{7}{8}.\]

       

1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>