Дробная степень

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

    \[r = \frac{m}{n},\]

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

    \[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

2) При a=0 и r>0 

    \[{0^r} = 0.\]

В частности,

    \[{a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a \]

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

    \[\sqrt[n]{{{a^m}}} = {(\sqrt[n]{a})^m}\]

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

    \[1){81^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{81}} = 3;\]

    \[2){128^{\frac{5}{7}}} = \sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(\sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;\]

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

    \[3){625^{0,75}} = {625^{\frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(\sqrt[4]{{625}})^3} = \]

    \[ = {5^3} = 125;\]

    \[4){243^{0,4}} = {243^{\frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {\left( {\sqrt[5]{{243}}} \right)^2} = \]

    \[ = {3^2} = 9.\]

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

    \[5){(15\frac{5}{8})^{\frac{2}{3}}} = {(\frac{{125}}{8})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{8})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{8}}})^2} = \]

    \[ = {(\frac{5}{2})^2} = \frac{{25}}{4} = 6\frac{1}{4};\]

    \[6){(12\frac{1}{4})^{1,5}} = {(\frac{{49}}{4})^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{(\frac{{49}}{4})}^3}} = {(\sqrt {\frac{{49}}{4}} )^3} = \]

    \[ = {(\frac{7}{2})^3} = \frac{{343}}{8} = 42\frac{7}{8}.\]

А как вычисляется отрицательная дробная степень?

Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:

    \[ a^{ - \frac{m}{n}} = \frac{1}{{a^{\frac{m}{n}} }} = \frac{1}{{\sqrt[n]{{a^m }}}} = \frac{1}{{(\sqrt[n]{a})^m }} \]

При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:

    \[ (\frac{a}{b})^{ - n} = (\frac{b}{a})^n \]

Примеры.

Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем:

    \[ 1)625^{ - \frac{3}{4}} = \frac{1}{{625^{\frac{3}{4}} }} = \frac{1}{{(\sqrt[4]{{625}})^3 }} = \frac{1}{{5^3 }} = \frac{1}{{125}}; \]

    \[ 2)0,0004^{ - 1,5} = \frac{1}{{0,0004^{\frac{3}{2}} }} = \frac{1}{{(\sqrt {0,0004} )^3 }} = \]

    \[ = \frac{1}{{0,02^3 }} = (\frac{1}{{0,02}})^3 = (\frac{{100}}{2})^3 = \]

    \[ = 50^3 = 125000; \]

    \[ 3)(1\frac{{61}}{{64}})^{ - \frac{2}{3}} = (\frac{{125}}{{64}})^{ - \frac{2}{3}} = (\frac{{64}}{{125}})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{{\frac{{64}}{{125}}}})^2 = \]

    \[ = (\frac{4}{5})^2 = \frac{{16}}{{25}} = 0,64. \]

       

9 комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *