График функции с модулем и дробью

График функции с модулем и дробью — ещё одна группа заданий номера 23 ОГЭ по математике.

Подобно функциям с переменной в знаменателе, графики таких функций могут содержать выколотую точку. Как и при построении графиков функций с модулем, рассматриваем два варианта раскрытия модуля.

1) Построить график функции

    \[ y = \frac{{\left| x \right| - 1}}{{\left| x \right| - x^2 }} \]

и определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.
Решение:

Так как x²=|х|², формулу, задающую функцию, перепишем в виде

    \[ y = \frac{{\left| x \right| - 1}}{{\left| x \right| - \left| x \right|^2 }} \]

В знаменателе общий множитель |х| вынесем за скобки

    \[ y = - \frac{{\left| x \right| - 1}}{{\left| x \right|(\left| x \right| - 1)}} \]

Найдём область определения функции.

|х|(|х|-1)≠0

|х|≠0; |х|-1≠0

x≠0; |х|≠1

x≠0, x≠±1.

D(y):x∈(-∞;-1)∪(-1;0)∪(0;1)∪(1;∞).

Сократив дробь на (|х|-1), получаем

    \[ y = - \frac{1}{{\left| x \right|}} \]

При x>0 |х|=x,

    \[ y = - \frac{1}{x} \]

— функция обратной пропорциональности. График — гипербола. Для построения гиперболы возьмём несколько точек (включая выколотую x=1):

    \[ \begin{array}{*{20}c} x &\vline & {\frac{1}{2}} &\vline & 1 &\vline & 2 \vline & \\ \hline y &\vline & { - 2} &\vline & { - 1} &\vline & { - \frac{1}{2}} \vline & \\ \end{array} \]

При x<0 |х|=-x,

    \[ y = \frac{1}{x} \]

— функция обратной пропорциональности.

    \[ \begin{array}{*{20}c} x &\vline & { - \frac{1}{2}} &\vline & { - 1} &\vline & { - 2} \vline & \\ \hline y &\vline & { - 2} &\vline & { - 1} &\vline & { - \frac{1}{2}} \vline & \\ \end{array} \]

grafik-funkcii-s-modulem-i-drobyu

Прямая y=kx не имеет с графиком общих точек, если она проходит через выколотые точки либо совпадает с осью Ox, то есть при k=±1 и k=0:

grafiki-funkcii-s-modulem-i-drobyu

Ответ: -1; 0; 1.

2)Постройте график функции

    \[ y = \frac{{(0,25x^2 + 0,5x) \cdot \left| x \right|}}{{x + 2}} \]

и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

В числителе вынесем за скобки общий множитель 0,25x:

    \[ y = \frac{{0,25x(x + 2) \cdot \left| x \right|}}{{x + 2}} \]

Ищем область определения функции.

x+2≠0

x≠-2.

D(y):x∈(-∞;-2)∪(-2;∞).

Сокращаем дробь на (x+2):

    \[ y = 0,25x \cdot \left| x \right| \]

Получили функцию, содержащую переменную под знаком модуля (при условии x≠-2).
При x=0, y=0,25·0·|0|=0.

При x>0 |х|=x, y=0,25·x·|x|= y=0,25·x·x=0,25x².

y=0,25x² или

    \[ y = \frac{1}{4}x^2 \]

— квадратичная функция. График — парабола, полученная из параболы y=x² сжатием к оси Ox в 4 раза.

При x<0 |х|=-x, y=0,25·x·|x|= y=0,25·x·(-x)=-0,25x².

    \[ y = - \frac{1}{4}x^2 \]

— квадратичная функция. График — парабола, полученная из параболы y=-x² сжатием к оси абсцисс в 4 раза.

grafiki-funkcij-s-modulem-i-drobyu-23

Прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки, если она проходит через выколотую точку, то есть при m=-1:

grafiki-s-modulem-i-drobyu-zadanie-23

Ответ: -1.

3) Построить график функции

    \[ y = \frac{1}{2}(\left| {\frac{x}{4} - \frac{4}{x}} \right| + \frac{x}{4} + \frac{4}{x}) \]

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Найдём область определения функции: x≠0.

D(y):x∈(-∞;0)∪(0;∞).

Если

    \[ \frac{x}{4} - \frac{4}{x} \ge 0 \]

    \[ \frac{{x^2 - 16}}{{4x}} \ge 0 \]

    \[ \frac{{(x - 4)(x + 4)}}{{4x}} \ge 0 \]

oge 23

то есть при x∈[-4;0)∪[4;∞), то

    \[ \left| {\frac{x}{4} - \frac{4}{x}} \right| = \frac{x}{4} - \frac{4}{x} \]

    \[ y = \frac{1}{2}(\left| {\frac{x}{4} - \frac{4}{x}} \right| + \frac{x}{4} + \frac{4}{x}) = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\frac{x}{4} - \frac{4}{x} + \frac{x}{4} + \frac{4}{x}) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{4} \]

y=x/4 -функция прямой пропорциональности. График — прямая, проходящая через начало координат.

Для построения прямой достаточно взять одну точку, например, при x=4 y=4/4=1. Вторая точка — точка O — на графике выколотая, так как x≠0. Для более точного построения прямой лучше взять ещё одну точку: при x=-4 y=-4/4=-1.

Если

    \[ \frac{x}{4} - \frac{4}{x} < 0 \]

то есть при x∈(-∞;-4)∪(0;4), то

    \[ \left| {\frac{x}{4} - \frac{4}{x}} \right| = - (\frac{x}{4} - \frac{4}{x}) = - \frac{x}{4} + \frac{4}{x}, \]

    \[ y = \frac{1}{2}(\left| {\frac{x}{4} - \frac{4}{x}} \right| + \frac{x}{4} + \frac{4}{x}) = \]

    \[ = \frac{1}{2}( - \frac{x}{4} + \frac{4}{x} + \frac{x}{4} + \frac{4}{x}) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{4}{x} = \frac{4}{x} \]

y=4/x — функция обратной пропорциональности. График — гипербола.

Для построения гиперболы возьмём несколько точек из промежутков (-∞;-4)∪(0;4) (-4 и 4 также лучше взять для уточнения построения графика).

grafiki-zadanie-23-matematika

Прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку при m=1 и m=-1:

oge-zadanie-23-matematika

Ответ: -1; 1.

       

5 комментариев

  • Алиссия:

    Здравствуйте!А как построить график функции у= х-1/ |х|-1 ?

    • admin:

      Область определения функции:|х|-1≠0, то есть x≠±1.
      При x>o, x≠1 y=(x-1)/(x-1), y=1. Это линейная функция. Её график — прямая, параллельная оси абсцисс Точка с абсциссой x=1 изображается выколотой.
      При x<0, x≠-1

          \[ y = \frac{{x - 1}}{{ - x - 1}} =  - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} =  - \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}} =  \]

          \[  =  - (\frac{{x + 1}}{{x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}}) =  - 1 + \frac{2}{{x + 1}} \]

          \[ y = \frac{2}{{x + 1}} - 1 \]

      — функция обратной пропорциональности. График — гипербола, получена из гиперболы y=2/x параллельным переносом влево на 1 единицу вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Прямые x=-1 и y=-1 являются для этой гиперболы асимптотами (график к ним стремится, но никогда их не достигнет).

  • Екатерина:

    Здравствуйте, а как построить график функции y=2x|x-1|/x-1 -x^2

    • admin:

      Область определения функции x∈(-∞;1)∪(1;∞).
      Если x>1, |x-1|=x-1,y=2x-x². График — парабола ветвями вниз с вершиной в точке (1;1).
      Если x<1, |x-1|=-(x-1),y=-2x-x². График — парабола ветвями вниз с вершиной в точке (-1;1).
      В точке x=1 — разрыв.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *