График функции y=kf(x)

График функции y=kf(x) (k>1) можно получить из графика функции y=f(x) растяжением от оси Ox в k раз. При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x; ky) графика функции y=kf(x):

(x; y) → (x; ky)

(то есть абсцисса (x) каждой точки начального графика остаётся без изменений, а ордината (y) увеличивается в k раз).

При растяжении от оси Ox точки графика y=f(x), лежащие на оси абсцисс, остаются на месте, так как k∙0=0.

Примеры.

1) График функции y=3x² получен из графика функции y=x² растяжением в 3 раза от оси Ox.

При растяжении графика от оси абсцисс нужно ординату каждой точки увеличить в 3 раза.

Для построения графика отмечаем базовые точки графика y=x². Для каждой точки координату x оставляем неизменной, значение координаты y умножаем на 3. Таким образом, каждая точка нового графика располагается строго над соответствующей точкой графика y=x²,  в 3 раза дальше от оси Ox.

Вершина параболы y=x², точка O (0; 0), остаётся на месте (так как 3∙0=0).

График y=3x² из y=x²

  (1; 1) → (1; 3),

  (-1; 1) → (-1; 3),

  (2; 4) → (2; 12),

  (-2; 4) → (-2; 12)

и т. д.

2) График функции y=2|х| можно получить из графика функции y=|х| растяжением от оси абсцисс в 2 раза.

Точка O (0; 0) остаётся на месте. В I и II координатных четвертях берём по одной точке графика y=|х|, например, (5; 5) и (-5; 5). Их абсциссы оставляем без изменений, а ординаты удваиваем:

График y=2|х| из y=|х|

   (5; 5)→ (5; 10),

   (-5; 5)→ (-5; 10).

Через эти точки из точки O проводим лучи.

Получаем график функции y=2|х|

3) График функции y=4√x можно получить из графика функции y=√x растяжением от оси Ox в 4 раза.

Координату x каждой из базовых точек графика y=√x оставляем без изменений, координату y увеличиваем в 4 раза. Точка O (0; 0) при этом остаётся на месте.

Через полученные точки проводим новый график:

График y=4√x из y=√x

(0; 0) → (0; 0),

(1; 1) → (1; 4),

(4; 2) → (4; 8),

(9; 3) → (9; 12),

и т. д.

Преобразование графиков может быть использовано для построения графиков функций в ходе решения примеров из разных разделов алгебры.