График квадратичной функции

График квадратичной функции y=ax²+bx+c, (где a, b, c — числа, причём a≠0) — парабола. При a>0 ветви параболы направлены вверх, при a<0 — вниз.

Как и в частном случаеy=±x²+bx+c — существуют различные способы построения графика функции y=ax²+bx+c. Рассмотрим два из них.

I способ — по точкам.

1) Ищем координаты вершины параболы.

2) Находим точки пересечения графика с осями координат.

3) Для более точного изображения графика подбираем дополнительные точки. Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси Ox, является осью симметрии параболы. Поэтому в качестве дополнительных точек можно взять несколько точек либо справа, либо слева от вершины (где проще находить y), после чего построить симметричные им точки.

Примеры.

1) Построить график функции y=0,25x²+0,5x-4,75.

Решение:

y=0,25x²+0,5x-4,75 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=0,25>0). Координаты вершины параболы

    \[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 0,5}}{{2 \cdot 0,25}} = - 1,\]

    \[{y_o} = 0,25\cdot{( - 1)^2} + 0,5\cdot( - 1) - 4,75 = - 5.\]

Первая точка графика — (-1; -5).

Ищем точки пересечения параболы с осями координат. В точке пересечения с осью Ox y=0, то есть нужно решить уравнение 0,25x²+0,5x-4,75=0. Его дискриминант равен 5, искать корни смысла нет, поскольку положение точек в этом случае можно найти только приближенно.

В точках пересечения с осью Oy x=0, поэтому y(0)=0,250²+0,5∙0-4,75=-4,75.

Вторая точка графика — (0; -4,75).

Прямая x= -1, проходящая через вершину параболы параллельно оси Ox, является осью симметрии параболы.

В качестве дополнительных берем точки справа от оси симметрии (проще вычислять y).

Найдём значение функции при x=1, x=3, x=5 и x=7 (удобнее брать нечётные значения x, поскольку в этом случае получаем целые значения y).

y(1)=0,25∙1²+0,5∙1-4,75=-4, точка (1; -4);

y(3)=0,25∙3²+0,5∙3-4,75=-1, точка (3; -1);

y(5)=0,25∙5²+0,5∙5-4,75=4, точка (5; 4);

y(7)=0,25∙7²+0,5∙7-4,75=11, точка (7; 11).

Найденные точки отмечаем на координатной плоскости. Строим точки, симметричные отмеченным относительно прямой x= -1. Через полученные точки проводим параболу:

 

grafik-kvadratichnoj-funkcii

График квадратичной функции y=0,25x²+0,5x-4,75

 

2) Построить график функции y= -2x²+12x-10.

Решение:

y= -2x²+12x-10 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=-2<0).

Координаты вершины параболы

    \[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 12}}{{2 \cdot ( - 2)}} = 3,\]

    \[{y_o} = - 2 \cdot {3^2} + 12 \cdot 3 - 10 = 8.\]

(3; 8) — вершина, x=3 — ось симметрии параболы.

В точках пересечения графика с осью Ox y=0, то есть решаем уравнение -2x²+12x-10=0. Его корни — x=1 и x=5. Получили точки графика (1; 0) и (5; 0).

В точке пересечения графика с осью Oy x=0:

y= -20²+120-10= -10. Точка графика — (0; -10).

Дополнительную точку возьмём справа от оси симметрии: x=2.

y= -2∙2²+12∙2-10= 6, (2; 6).

Найденные 5 точек отмечаем на координатной плоскости. Находим еще две точки, симметричные относительно прямой x=3 точкам (0; -10) и (2; 6). Через эти семь точек проводим параболу:

postroit-grafik-kvadratichnoj-funkcii

График квадратичной функции y=-2x²+12x-10

 

3) Построить график функции

    \[y = \frac{1}{3}{x^2} - x + 2\]

Решение:

    \[y = \frac{1}{3}{x^2} - x + 2\]

- квадратичная функции. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (так как a=1/3>0). Координаты вершины параболы

    \[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1)}}{{2 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2} = 1,5,\]

    \[{y_o} = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2})^2} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{5}{4} = 1,25.\]

Первая точка графика — вершина (1,5; 1,25) — найдена.

Чтобы найти точки пересечения графика с осью Ox, надо решить уравнение

    \[\frac{1}{3}{x^2} - x + 2 = 0\]

Его дискриминант — число отрицательное. Значит, уравнение не имеет корней, а график функции не пересекает ось абсцисс.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью Oy, находим значение функции при x=0:

    \[y(0) = \frac{1}{3} \cdot {0^2} - 0 + 2 = 2.\]

Вторая точка графика — (0; 2).

Прямая x=1,5, проходящая через вершину параболы — её ось симметрии. Найдем пару точек графика слева от оси симметрии.

    \[y( - 1) = \frac{1}{3} \cdot {( - 1)^2} - ( - 1) + 2 = 3\frac{1}{3},\]

    \[y( - 3) = \frac{1}{3} \cdot {( - 3)^2} - ( - 3) + 2 = 8.\]

Таким образом, получили ещё две точки

    \[( - 1;3\frac{1}{3});( - 3;8).\]

На координатной плоскости отмечаем найденные точки, затем — точки, симметричные им относительно оси симметрии, и проводим через них параболу:

kak-postroit-grafik-kvadratichnoj-funkcii

График квадратичной функции y=(1/3) x²-x+2

В алгебре с построением графиков, в том числе, графиков квадратичных функций, приходится иметь дело при решении заданий из самых разных разделов. Вот почему важно вовремя успешно овладеть навыками построения квадратичной параболы.

Другой способ построения графика квадратичной функции рассмотрим в следующий раз.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>