Как сократить дробь

Как сократить алгебраическую (рациональную) дробь, числитель и знаменатель которой содержат выражения, которые отличаются только знаками?

Например, как сократить дробь

$\frac{{a - b}}{{b - a}}?$

Для начала вспомним, как от выражения (a-b) перейти к выражению (b-a). Для этого нужно вынести «минус» за скобки (при этом все знаки слагаемых в скобках изменятся на противоположные):

$a - b = - (b - a)$

В дроби вынести «минус» за скобки можно или в числителе, или в знаменателе. По свойству алгебраических дробей, знак «минус» можно вынести перед дробью:

$\frac{{a - b}}{{b - a}} = \frac{{a - b}}{{ - (a - b)}} = \frac{{ - (b - a)}}{{b - a}} = - \frac{{a - b}}{{a - b}}$

В данном примере числитель и знаменатель дроби сокращаем на (a-b):

$\frac{{a - b}}{{b - a}} = - \frac{{a - b}}{{a - b}} = - 1.$

Рассмотрим другие примеры сокращения алгебраических дробей такого вида.

$1)\frac{{4ab - 2{b^2}}}{{ab - 2{a^2}}}$

Сокращать можно только множители!

В числителе и знаменателе дроби — многочлены. Чтобы сократить дробь, надо разложить многочлены на множители. В числителе есть общий множитель 2b, в знаменателе — a. Вынесем их за скобки:

$\frac{{4ab - 2{b^2}}}{{ab - 2{a^2}}} = \frac{{2b(2a - b)}}{{a(b - 2a)}} =$

Выражения, стоящие в скобках в числителе и в знаменателе, отличаются только знаками. Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя (при этом все знаки слагаемых, стоящих в скобках, изменятся на противоположные):

$= - \frac{{2b(2a - b)}}{{a(2a - b)}} = - \frac{{2b}}{a};$

После чего сокращаем дробь на общий делитель (2a-b).

$2)\frac{{14 - 2m}}{{{m^2} - 49}}$

В числителе выносим общий множитель 2 за скобки, знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов:

$\frac{{14 - 2m}}{{{m^2} - 49}} = \frac{{2(7 - m)}}{{(m - 7)(m + 7)}} =$

Вынесем «минус» перед дробью, например, из числителя:

$= - \frac{{2(m - 7)}}{{(m - 7)(m + 7)}} = - \frac{2}{{m + 7}};$

Сокращаем дробь на (m-7).

$3)\frac{{xy - 3y - 2x + 6}}{{18 - 6x}}$

В числителе — 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым. В знаменателе выносим общий множитель 6 за скобки:

$\frac{{xy - 3y - 2x + 6}}{{18 - 6x}} = \frac{{(xy - 3y) + ( - 2x + 6)}}{{6(3 - x)}} =$

В числителе выносим общие множители за скобки: из первых скобок — y, из вторых — -2, затем — (x-3):

$= \frac{{y(x - 3) - 2(x - 3)}}{{6(3 - x)}} = \frac{{(x - 3)(y - 2)}}{{6(3 - x)}} =$

Сокращаем дробь на (x-3):

$= - \frac{{(x - 3)(y - 2)}}{{6(x - 3)}} = - \frac{{y - 2}}{6} =$

Если после сокращения перед дробью остался «минус», а в числителе или знаменателе есть разность, «минус» надо внести в разность (при этом знаки слагаемых изменятся на противоположные). Вносим «-» в числитель, -(y-2)=2-y:

$= \frac{{2 - y}}{6};$

${(a - b)^2} = {( - (b - a))^2} = {(b - a)^2}$

Соответственно,

$\frac{{{{(a - b)}^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} = \frac{{{{(a - b)}^2}}}{{{{(a - b)}^2}}} = \frac{{{{(b - a)}^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} = 1.$

То есть, чтобы сменить знаки слагаемых в квадрате разности, «минус» за скобки (и перед дробью) выносить не нужно. Это верно не только для квадрата разности, но и для любой другой четной степени:

${(a - b)^{2n}} = {(b - a)^{2n}}.$

В случае возведения разности в нечетную степень при смене знаков слагаемых знак «минус» за скобки выносить нужно:

${(a - b)^{2n + 1}} = - {(b - a)^{2n + 1}}.$

Примеры.

$4)\frac{{81{x^2} - 180xy + 100{y^2}}}{{100{y^2} - 81{x^2}}} =$

В числителе — полный квадрат разности, в знаменателе — разность квадратов. Раскладываем на множители:

$= \frac{{{{(9x - 10y)}^2}}}{{(10y - 9x)(10y + 9x)}} =$

Удобнее изменить знаки слагаемых вверху, поскольку при этом не нужно изменять знак перед дробью:

$= \frac{{{{(10y - 9x)}^2}}}{{(10y - 9x)(10y + 9x)}} =$

Сокращаем дробь на (10y-9x):

$= \frac{{10y - 9x}}{{10y + 9x}};$

$5)\frac{{{{(b - 4)}^3}}}{{{{(4 - b)}^7}}} =$

Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя:

$= - \frac{{{{(b - 4)}^3}}}{{{{(b - 4)}^7}}} =$

Сокращаем на (b-4)³:

$= - \frac{1}{{{{(b - 4)}^4}}}.$

Сокращение дробей в алгебре — важная составляющая часть сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей. Упрощать рациональные выражения приходится при решении уравнений, неравенств, задач и т.д.

Далее мы будем рассматривать действия над алгебраическими дробями.

Добавить комментарий Отменить ответ