Как умножать многочлены

Запишем правило умножения многочленов и рассмотрим, как умножать многочлены, на конкретных примерах.

Правило умножения многочленов.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

С помощью букв умножение многочленов (в данном случае — трехчлена на двучлен) можно записать так:

$(a + b - c)(m + n) =$

$= a(m + n) + b(m + n) - c(m + n) =$

$= am + an + bm + bn - cm - cn$

На начальном этапе изучения темы имеет смысл несколько самых первых примеров расписать так же подробно.

Например,

$1)(2{x^2} - 5x + 3)(4 - 3x) =$

$= 2{x^2}(4 - 3x) - 5x(4 - 3x) + 3(4 - 3x) =$

Теперь умножаем одночлен на многочлен и приводим подобные члены:

$= \underline {8{x^2}} - 6{x^3}\underline{\underline { - 20x}} \underline { + 15{x^2}} + 12\underline{\underline { - 9x}} =$

$= - 6{x^3} + 23{x^2} - 29x + 12;$

$2)(5x + 2)(7 - 4x) =$

$= 5x(7 - 4x) + 2(7 - 4x) =$

$= \underline {35x} - 20{x^2} + 14\underline { - 8x} = - 20{x^2} + 27x + 14.$

Как научиться умножать многочлены без подробной записи?

Сначала представим, что первое слагаемое из первых скобок мы умножаем на многочлен во вторых скобках, затем — второе слагаемое из первых скобок умножим на вторые скобки, и так далее. Можно даже помочь себе, закрыв остальные слагаемые ручкой или карандашом.

Например,

$3)(7{y^2} + 10y - 2)(4y - {y^2}) =$

Умножаем первое слагаемое из первых скобок, 7y², на каждое слагаемое из вторых скобок. Поскольку перед 7y² стоит знак «+», то и перед вторыми скобками стоит «+». Значит, знаки в скобках не меняются. Получаем 28y³-7y⁴.

Затем умножаем второе слагаемое из первых скобок, 10y, на каждое слагаемое из вторых скобок. Перед 10y стоит знак «+», знаки в скобках не меняются: 40y²-10y³.

Переходим к умножению третьего слагаемого из первых скобок, -2, на каждое слагаемое из вторых скобок. Поскольку перед -2 стоит знак «-«, каждый знак в скобках изменяем на противоположный: -8y+2y².

Все вместе записываем так:

$= 28{y^3} - 7{y^4} + 40{y^2} - 10{y^3} - 8y + 2{y^2} =$

Теперь приводим подобные слагаемые:

$= \underline {28{y^3}} - 7{y^4}\underline{\underline { + 40{y^2}}} \underline { - 10{y^3}} - 8y\underline{\underline { + 2{y^2}}} =$

$= - 7{y^4} + 18{y^3} + 42{y^2} - 8y.$

Немного практики, и вы убедитесь, что умножать многочлены — это не сложно. Важна лишь внимательность и знание предыдущего матери

Добавить комментарий Отменить ответ