Как умножать многочлены

Запишем правило умножения многочленов и рассмотрим, как умножать многочлены, на конкретных примерах.

Правило умножения многочленов.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

С помощью букв умножение многочленов (в данном случае — трехчлена на двучлен) можно записать так:

    \[(a + b - c)(m + n) = \]

    \[ = a(m + n) + b(m + n) - c(m + n) = \]

    \[ = am + an + bm + bn - cm - cn\]

На начальном этапе изучения темы имеет смысл несколько самых первых примеров расписать так же подробно.

Например,

    \[1)(2{x^2} - 5x + 3)(4 - 3x) = \]

    \[ = 2{x^2}(4 - 3x) - 5x(4 - 3x) + 3(4 - 3x) = \]

Теперь умножаем одночлен на многочлен и приводим подобные члены:

    \[ = \underline {8{x^2}} - 6{x^3}\underline{\underline { - 20x}} \underline { + 15{x^2}} + 12\underline{\underline { - 9x}} = \]

    \[ = - 6{x^3} + 23{x^2} - 29x + 12;\]

    \[2)(5x + 2)(7 - 4x) = \]

    \[ = 5x(7 - 4x) + 2(7 - 4x) = \]

    \[ = \underline {35x} - 20{x^2} + 14\underline { - 8x} = - 20{x^2} + 27x + 14.\]

Как научиться умножать многочлены без подробной записи?

Сначала представим, что первое слагаемое из первых скобок мы умножаем на многочлен во вторых скобках, затем — второе слагаемое из первых скобок умножим на вторые скобки, и так далее. Можно даже помочь себе, закрыв остальные слагаемые ручкой или карандашом.

Например,

    \[3)(7{y^2} + 10y - 2)(4y - {y^2}) = \]

Умножаем первое слагаемое из первых скобок, 7y², на каждое слагаемое из вторых скобок. Поскольку перед 7y² стоит знак «+», то и перед вторыми скобками стоит «+». Значит, знаки в скобках не меняются. Получаем 28y³-7y⁴.

Затем умножаем второе слагаемое из первых скобок, 10y, на каждое слагаемое из вторых скобок. Перед 10y стоит знак «+», знаки в скобках не меняются: 40y²-10y³.

Переходим к умножению третьего слагаемого из первых скобок, -2, на каждое слагаемое из вторых скобок. Поскольку перед -2 стоит знак «-», каждый знак в скобках изменяем на противоположный: -8y+2y².

Все вместе записываем так:

    \[ = 28{y^3} - 7{y^4} + 40{y^2} - 10{y^3} - 8y + 2{y^2} = \]

Теперь приводим подобные слагаемые:

    \[ = \underline {28{y^3}} - 7{y^4}\underline{\underline { + 40{y^2}}} \underline { - 10{y^3}} - 8y\underline{\underline { + 2{y^2}}} = \]

    \[ = - 7{y^4} + 18{y^3} + 42{y^2} - 8y.\]

Немного практики, и вы убедитесь, что умножать многочлены — это не сложно. Важна лишь  внимательность и знание предыдущего матери

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>