Координаты вершины параболы

Как найти координаты вершины параболы? Для этого достаточно запомнить всего одну короткую формулу (она же — корень квадратного уравнения для случая, если дискриминант равен нулю).

I. Абсциссу координаты вершины параболы — графика квадратичной функции y=ax²+bx+c, где a, b, c — числа, причем a≠0, находят по формуле

    \[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}}.\]

Для нахождения ординаты достаточно подставить в формулу функции x вместо каждого x:

    \[{y_o} = a{x_o}^2 + b{x_0} + c.\]

Можно также найти ординату вершины параболы, воспользовавшись формулой

    \[{y_o} = - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}},\]

(минус дискриминант, деленный на 4a).

Примеры.

Найти координаты вершины параболы:

1) y=x²-7x+3;

2) y= -x²+8x+2;

3) y= -3x²-12x-4;

4) y= 0,2x²+x+5.

Решение:

    \[1){x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 7)}}{{2 \cdot 1}} = 3,5;\]

    \[{y_o} = {3,5^2} - 7 \cdot 3,5 + 3 = -9,25\]

Вершина параболы y=x²-7x+3 - точка (3,5; -9,25).

    \[2){x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 8}}{{2 \cdot ( - 1)}} = 4;\]

    \[{y_o} = - {4^2} + 8 \cdot 4 + 2 = - 16 + 32 + 2 = 18\]

Вершиной параболы y= -x²+8x+2является точка (4; 18).

    \[3){x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 12)}}{{2 \cdot ( - 3)}} = - 2;\]

    \[{y_o} = - 3 \cdot {( - 2)^2} - 12 \cdot ( - 2) - 4 = \]

    \[ = - 12 + 24 - 4 = 8\]

(-2; 8) — вершина параболы y= -3x²-12x-4.

    \[4){x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 1}}{{2 \cdot 0,2}} = - 2,5;\]

    \[{y_o} = 0,2 \cdot {( - 2,5)^2} + ( - 2,5) + 5 = \]

    \[ = 1,25 - 2,5 + 5 = 3,75\]

Следовательно, (-2,5; 3,75) — вершина параболы y=0,2x²+x+5.

II. Абсциссу вершины параболы можно также найти как среднее арифметическое между нулями функции (в том случае, если функция имеет нули):

    \[{x_0} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\]

Этим способом удобно находить вершину параболы, когда квадратичная функция задана в виде y=a(x-x1)(x-x2).

Пример.

Найдём координаты вершины параболы y=5(x-1)(x+7). Ищем нули функции:

5(x-1)(x+7)=0. Это уравнение типа произведение равно нулю.

x-1=0 или x+7=0

x=1; x=-7.

    \[{x_0} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3;\]

    \[{y_o} = 5 \cdot ( - 3 - 1)( - 3 + 7) = - 80\]

Точка (-3; -80) — вершина параболы y=5(x-1)(x+7).

III. Если функция задана в виде

    \[y = a{(x - {x_o})^2} + {y_o},\]

то её вершина — точка (x; y). Например, вершиной параболы

    \[y = \frac{2}{9}{(x + 3)^2} - 1\]

является точка (-3; -1).

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>