Куб разности

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго выражения.

Формула куба суммы:

    \[{(a - b)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\]

Другой вариант записи формулы куба разности —

    \[{(a - b)^3} = {a^3} - {b^3} - 3ab(a - b)\]

Примеры применения формулы куба разности.

    \[1){(x - 4)^3} = {x^3} - 3 \cdot {x^2} \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot {4^2} - {4^3} = \]

    \[ = {x^3} - 12{x^2} + 48x - 64;\]

    \[2){(5c - 2d)^3} = {(5c)^3} - 3 \cdot {(5c)^2} \cdot 2d + \]

    \[ + 3 \cdot 5c \cdot {(2d)^2} - {(2d)^3} = \]

    \[ = 125{c^3} - 150{c^2}d + 60c{d^2} - 8{d^3};\]

    \[3){(10m - 0,1n)^3} = \]

    \[ = {(10m)^3} - 3 \cdot {(10m)^2} \cdot 0,1n + \]

    \[ + 3 \cdot 10m \cdot {(0,1n)^2} - {(0,1n)^3} = \]

    \[ = 1000{m^3} - 30{m^2}n + 0,3m{n^2} - 0,001{n^3};\]

    \[4){(\frac{3}{5}a - \frac{5}{3}b)^3} = {(\frac{3}{5}a)^3} - 3 \cdot {(\frac{3}{5}a)^2} \cdot \frac{5}{3}b + \]

    \[ + 3 \cdot \frac{3}{5}a \cdot {(\frac{5}{3}b)^2} - {(\frac{5}{3}b)^3} = \]

    \[ = \frac{{27}}{{125}}{a^3} - \frac{9}{5}{a^2}b + 5a{b^2} - \frac{{125}}{{27}}{b^3}.\]

Как и другие формулы сокращённого умножения, куб разности — тождество, то есть формулу можно использовать как для разложения куба разности в многочлен, так и сворачивания соответствующего многочлена в куб разности:

    \[{a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} = {(a - b)^3}\]

Первый раз формула куба разности встречается в курсе алгебры 7 класса как одна из формул сокращенного умножения (в качестве дополнительного материала). Затем — в курсе комбинаторики, как бином Ньютона.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>