Куб суммы

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

Формула кубы суммы:

    \[{(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\]

Другой вариант записи формулы куба суммы:

    \[{(a + b)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b)\]

Примеры применения формулы куба суммы:

    \[1){(x + 5)^3} = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot {5^2} + {5^3} = \]

    \[ = {x^3} + 15{x^2} + 75x + 125;\]

    \[2){(2m + 3n)^3} = {(2m)^3} + 3 \cdot {(2m)^2} \cdot 3n + \]

    \[ + 3 \cdot 2m \cdot {(3n)^2} + {(3n)^3} = \]

    \[ = 8{m^3} + 36{m^2}n + 54m{n^2} + 27{n^3};\]

    \[3){(10a + 0,1b)^3} = \]

    \[ = {(10a)^3} + 3 \cdot {(10a)^2} \cdot 0,1b + \]

    \[ + 3 \cdot 10a \cdot {(0,1b)^2} + {(0,1b)^3} = \]

    \[ = 1000{a^3} + 30{a^2}b + 0,3a{b^2} + 0,001{b^3};\]

    \[4){(\frac{4}{5}c + \frac{5}{4}d)^3} = {(\frac{4}{5}c)^3} + 3 \cdot {(\frac{4}{5}c)^2} \cdot \frac{5}{4}d + \]

    \[ + 3 \cdot \frac{4}{5}c \cdot {(\frac{5}{4}d)^2} + {(\frac{5}{4}d)^3} = \]

    \[ = \frac{{64}}{{125}}{c^3} + \frac{{12}}{5}{c^2}d + \frac{{15}}{4}c{d^2} + \frac{{125}}{{64}}{d^3}.\]

Как и другие формулы сокращённого умножения, формула куба суммы является тождеством, то есть может применяться как для преобразования куба суммы в сумму четырёх слагаемых, так и для обратного перехода:

    \[{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {(a + b)^3}\]

Формула куба суммы впервые встречается в теме «Формулы сокращённого умножения» в курсе алгебры 7 класса (как дополнительный материал). В следующий раз сумму кубов изучают в курсе комбинаторики как частный случай бинома Ньютона.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>