Квадратные уравнения: выделение полного квадрата

Квадратные уравнения можно решать еще до изучения темы «Квадратный корень»: выделение полного квадрата позволяет разложить квадратный трёхчлен на множители.

Рассмотрим на примерах, как можно использовать выделение квадрата двучлена для решения квадратных уравнений.

    \[1){x^2} - 4x - 60 = 0\]

Выделим полный квадрат из трёхчлена, стоящего в левой части уравнения:

    \[({x^2} - 2 \cdot x \cdot 2 + {2^2}) - {2^2} - 60 = 0\]

    \[{(x - 2)^2} - 64 = 0\]

64 представим как квадрат 8:

    \[{(x - 2)^2} - {8^2} = 0\]

Левую часть уравнения расложи на множители по формуле разности квадратов:

    \[(x - 2 - 8)(x - 2 + 8) = 0\]

    \[(x - 10)(x + 6) = 0\]

Получили уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[x - 10 = 0;x + 6 = 0\]

    \[x = 10;x = - 6\]

Ответ: -6; 10.

    \[2){x^2} - 2x + 7 = 0\]

Выделяем полный квадрат:

    \[({x^2} - 2 \cdot x \cdot 1 + {1^2}) - {1^2} + 7 = 0\]

    \[{(x - 1)^2} + 6 = 0\]

    \[{(x - 1)^2} \ge 0,6 > 0, \Rightarrow {(x - 1)^2} + 6 > 0,\]

то есть быть раной нулю левая часть уравнения быть не может. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

    \[3)2{x^2} + 5x + 3 = 0\]

Разделим обе части уравнения почленно на число, стоящее перед x ²:

    \[2{x^2} + 5x + 3 = 0\_\_\_\left| {:2} \right.\]

    \[{x^2} + \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} = 0\]

Выделим полный квадрат

    \[({x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{4} + {(\frac{5}{4})^2}) - {(\frac{5}{4})^2} + \frac{3}{2} = 0\]

    \[{(x + \frac{5}{4})^2} - \frac{{{{25}^{\backslash 1}}}}{{16}} + \frac{{{3^{\backslash 8}}}}{2} = 0\]

    \[{(x + \frac{5}{4})^2} - {(\frac{1}{4})^2} = 0\]

    \[(x + \frac{5}{4} - \frac{1}{4})(x + \frac{5}{4} + \frac{1}{4}) = 0\]

    \[(x + 1)(x + \frac{6}{4}) = 0\]

    \[x + 1 = 0;x + 1,5 = 0\]

    \[x = - 1;x = - 1,5\]

Ответ: -1,5; -1.

С помощью выделения полного квадрата можно решать квадратные уравнения даже в курсе алгебры 7 класса при условии, что корни — рациональные числа.

Если корни — иррациональные числа, решить квадратное уравнение выделением квадрата двучлена также можно, но уже после введения понятия квадратного корня.

Пример.

    \[4){x^2} + 6x + 2 = 0\]

Выделяем полный квадрат двучлена

    \[({x^2} + 2 \cdot x \cdot 3 + {3^2}) - {3^2} + 2 = 0\]

    \[{(x + 3)^2} - 7 = 0\]

Так как

    \[7 = {(\sqrt 7 )^2},\]

    \[(x + 3 - \sqrt 7 )(x + 3 + \sqrt 7 ) = 0\]

    \[x + 3 - \sqrt 7 = 0;x + 3 + \sqrt 7 = 0\]

    \[x = - 3 + \sqrt 7 ;x = - 3 - \sqrt 7 \]

Ответ:

    \[ - 3 + \sqrt 7 ; - 3 - \sqrt 7 .\]

Хотя выделение полного квадрата для решения квадратных уравнений в курсе алгебры используют редко, не стоит пренебрегать возможностью выработать соответствующий навык, который пригодится в будущем (например, в курсе математического анализа).

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>