Линейные уравнения с дробями

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

    \[1)\frac{{x - 2}}{3} - \frac{{3x}}{2} = 5\]

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

    \[\frac{{x - {2^{\backslash 2}}}}{3} - \frac{{3{x^{\backslash 3}}}}{2} = {5^{\backslash 6}}\_\_\_\left| { \cdot 6} \right.\]

В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.

    \[2(x - 2) - 9x = 30\]

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

    \[2x - 4 - 9x = 30\]

    \[ - 7x - 4 = 30\]

    \[ - 7x = 30 + 4\]

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    \[ - 7x = 34\_\_\_\left| {:( - 7)} \right.\]

    \[x = - \frac{{34}}{7}\]

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть

    \[x = - 4\frac{6}{7}\]

Ответ: -4 6/7.

    \[2)\frac{{6x - 1}}{5} - \frac{{2 - x}}{4} = \frac{{3x + 2}}{2}\]

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:

    \[\frac{{6x - {1^{\backslash 4}}}}{5} - \frac{{2 - {x^{\backslash 5}}}}{4} = \frac{{3x + {2^{\backslash 10}}}}{2}\_\_\_\left| { \cdot 20} \right.\]

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

    \[4(6x - 1) - 5(2 - x) = 10(3x + 2)\]

Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».

    \[24x - 4 - 10 + 5x = 30x + 20\]

После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.

    \[29x - 14 = 30x + 20\]

    \[29x - 30x = 20 + 14\]

    \[ - x = 34\]

    \[x = - 34\]

Ответ: -34.

    \[3)\frac{{5x + 3}}{4} - \frac{{8 - 5x}}{6} = 4 + 3x\]

Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:

    \[\frac{{5x + {3^{\backslash 3}}}}{4} - \frac{{8 - 5{x^{\backslash 2}}}}{6} = {4^{\backslash 12}} + 3{x^{\backslash 12}}\]

    \[3(5x + 3) - 2(8 - 5x) = 48 + 36x\]

Раскрываем скобки и упрощаем

    \[15x + 9 - 16 + 10x = 48 + 36x\]

    \[25x - 7 = 48 + 36x\]

    \[25x - 36x = 48 + 7\]

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    \[ - 11x = 55\_\_\_\left| {:( - 11)} \right.\]

    \[x = - 5\]

Ответ: -5.

    \[4)\frac{{8 - 3x}}{7} = \frac{{11 - 2x}}{{10}}\]

Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):

    \[10(8 - 3x) = 7(11 - 2x)\]

    \[80 - 30x = 77 - 14x\]

    \[ - 30x + 14x = 77 - 80\]

    \[ - 16x = - 3\_\_\_\left| {:( - 16)} \right.\]

при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.

    \[x = \frac{3}{{16}}\]

Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:

    \[x = 0,1875\]

Ответ: 0,1875.

       

Комментарии (4)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>