Метод подстановки

Метод подстановки решения систем линейных уравнений первый раз изучается в курсе алгебры 7 класса. В дальнейшем этот метод встречается ещё не раз, поскольку с помощью подстановки можно решать и другие виды систем уравнений.

 

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки

1) В одном из уравнений выражаем одну переменную через другую.

2) Полученное выражение подставляем вместо этой переменной в другое уравнение системы и решаем уравнение с одной переменной.

3) Найденное значение переменной подставляем в выражение и вычисляем значение другой переменной.

Ответ системы записывают в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке. Для системы уравнений из двух переменных ответ схематически выглядит так:

(x; y),

из трёх — (x; y; z).

 

Как определить, из какого уравнения выразить одну переменную через другую?

При решении систем линейных уравнений способом подстановки выразить одну переменную через другую можно из любого уравнения, но желательно лучше выбирать для этого путь, который проще.

  • Как правило, удобнее всего брать переменную, коэффициент при которой равен единице. В этом случае, чтобы выразить такую переменную через другую, нужно просто перенести остальные слагаемые в правую часть, изменив при переносе их знаки на противоположные.

Например, в системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 y = c_1 , \\ a_2 x + y = c_2  \\ \end{array} \right.\]

во втором уравнении коэффициент при переменной y равен 1 (b2=1), поэтому удобно выразить из второго уравнения y через x:

y=с2 — a2x

и подставить получившееся выражение вместо y в первое уравнение:

a1x+b12 — a2x)=с1.

Записывают эти действия коротко:

    \[\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 y = c_1 , \\ a_2 x + y = c_2 ; \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 (c_2 - a_2 x) = c_1 , \\ y = c_2 - a_2 x. \\ \end{array} \right.\]

 

  • Следующий по удобству вариант — коэффициент -1 перед переменной.

Например, в системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} a_1 x - y = c_1 , \\ a_2 x + b_1 y = c_2  \\ \end{array} \right.\]

коэффициент при y в первом уравнении равен -1, поэтому удобно выразить из первого уравнения y через x.

Это можно сделать так: оставив y со знаком «-«в левой части, первое слагаемое перенести в правую часть

-y=с1 -a1x,

после чего умножить обе части уравнения на -1:

y= a1x — с1 .

Также можно y перенести в правую часть, изменив его знак на «+», а a1x  — в левую, изменив знак на «-«:

a1x — с1=y.

Можно сразу же поменять местами правую и левую части:

y= a1x — с1 .

Записывают эти действия кратко:

    \[\left\{ \begin{array}{l} a_1 x - y = c_1 , \\ a_2 x + b_1 y = c_2 ; \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} y = a_1 x - c_1 , \\ a_2 x + b_1 (a_1 x - c_1 ) = c_2 . \\ \end{array} \right.\]

 

  • Поскольку удобно делить на 2, 5, 10, при наличии одного из таких коэффициентов перед переменной удобно выразить такую переменную через другую.

Например, в системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x + b_1 y = c_1 , \\ a_2 x + b_2 y = c_2 ; \\ \end{array} \right.\]

можно выразить из первого уравнения x через y:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x = c_1 - b_1 y, \\ a_2 x + b_2 y = c_2 ; \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{c_1 }}{2} - \frac{{b_1 }}{2}y, \\ a_2 (\frac{{c_1 }}{2} - \frac{{b_1 }}{2}y) + b_2 y = c_2 . \\ \end{array} \right.\]

 

  • В общем виде план решение систем линейных уравнений способом подстановки можно записать, например, так:

    \[\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 y = c_1 , \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} b_1 y = c_1 - a_1 x, \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{c_1 }}{{b_1 }} - \frac{{a_1 }}{{b_1 }}x, \\ a_2 x + b_2 (\frac{{c_1 }}{{b_1 }} - \frac{{a_1 }}{{b_1 }}x) = c_2 \\ \end{array} \right.\]

Из второго уравнения находим значение x. Подставив это значение в 1-е уравнение, находим y.

 

В следующий раз рассмотрим решение систем линейных уравнений методом подстановки на конкретных примерах.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *