Метод введения параметра

Метод введения параметра позволяет нестандартное уравнение привести к уравнению привычного вида (например, к квадратному уравнению).

Рассмотрим конкретные примеры уравнений, которые можно решить методом введения параметра.

    \[1){(x + 7)^2} - 3x \cdot (\left| {x + 7} \right| - 1) = 1\]

ОДЗ: x∈R.

Так как

    \[{a^2} = {\left| a \right|^2},\]

перепишем уравнение в виде

    \[{\left| {x + 7} \right|^2} - 3x \cdot \left| {x + 7} \right| + (3x - 1) = 0\]

Введём параметр. Пусть

    \[\left| {x + 7} \right| = t,t \ge 0,\]

тогда

    \[{t^2} - 3x \cdot t + (3x - 1) = 0\]

Получили квадратное уравнение относительно переменной t. Здесь

    \[a = 1;b = - 3x;c = - (3x - 1)\]

Находим дискриминант

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {( - 3x)^2} - 4 \cdot 1 \cdot (3x - 1) = \]

    \[ = 9{x^2} - 12x + 4 = {(3x - 2)^2}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{3x \pm \sqrt {{{(3x - 2)}^2}} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{3x \pm \left| {3x - 2} \right|}}{2}\]

В данном случае раскрытие модуля с любым знаком приводит к одним и тем же корням

    \[{t_1} = \frac{{3x + 3x - 2}}{2} = 3x - 1\]

    \[{t_2} = \frac{{3x - 3x + 2}}{2} = 1\]

Обратная замена

    \[\left| {x + 7} \right| = 3x - 1;\left| {x + 7} \right| = 1\]

При x< -7

    \[\left| {x + 7} \right| = - x - 7\]

и

    \[ - x - 7 = 3x - 1\]

    \[x = - 1,5\]

-1,5∉(-∞; -7).

2) При x≥ -7

    \[\left| {x + 7} \right| = x + 7\]

    \[x + 7 = 3x - 1\]

    \[x = 4\]

4∈[-7; ∞).

    \[3)x + 7 = 1\]

    \[x = - 6\]

    \[4)x + 7 = - 1\]

    \[x = - 8\]

Ответ: -8; -6; 4.

    \[2){x^4} - (x + 2)(3{x^2} - 2x - 4) = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, придём к уравнению 4-й степени.

Рассмотрим другой подход.

    \[{x^4} - (x + 2)(3{x^2} - 2(x + 2)) = 0\]

Пусть x+2=t, тогда

    \[{x^4} - t \cdot (3{x^2} - 2t) = 0\]

    \[{x^4} - 3t{x^2} + 2{t^2} = 0\]

Это уравнение можно решать и как квадратное уравнение относительно переменной t, и как биквадратное относительно переменной x — результат получим один и тот же.

Решим его как квадратное относительно t (чтобы не вводить ещё одну переменную).

    \[2{t^2} - 3{x^2}t + {x^4} = 0\]

    \[a = 2;b = - 3{x^2};c = {x^4}\]

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {( - 3{x^2})^2} - 4 \cdot 2 \cdot {x^4} = {x^4}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{3{x^2} \pm \sqrt {{x^4}} }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{3{x^2} \pm {x^2}}}{4}\]

    \[{t_1} = {x^2};{t_2} = \frac{{{x^2}}}{2}\]

Обратная замена

    \[x + 2 = {x^2};x + 2 = \frac{{{x^2}}}{2}\]

    \[1){x^2} - x - 2 = 0\]

    \[{x_1} = 2;{x_2} = - 1\]

    \[2){x^2} - 2x - 4 = 0\]

    \[\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 2}}{2}} \right)^2} - 1 \cdot ( - 4) = 5\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = 1 \pm \sqrt 5 .\]

Ответ:

    \[2; - 1;1 \pm \sqrt 5 .\]

Метод введения параметра используют в самых разных разделах алгебры. В частности, введением параметра могут быть решены некоторые тригонометрические, иррациональные, логарифмические и показательные уравнения.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>