Наименьшее решение неравенства

Задания, в которых требуется найти наименьшее решение неравенства, а также наименьшее целое или наименьшее натуральное решение неравенства, в курсе алгебры впервые встречаются при изучении темы «Линейные неравенства».  Рассмотрим на примерах решение такого рода задач.  

1) Найти наименьшее решение неравенства

    \[\frac{{4x + 1}}{6} - \frac{{x - 9}}{4} \ge 1\]

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, равный 12:

    \[\frac{{4x + {1^{\backslash 2}}}}{6} - \frac{{x - {9^{\backslash 3}}}}{4} \ge {1^{\backslash 12}}\_\_\_\left| {\cdot12 > 0} \right.\]

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

    \[2(4x + 1) - 3(x - 9) \ge 12\]

Раскрываем скобки:

    \[8x + 2 - 3x + 27 \ge 12\]

Упрощаем:

    \[5x + 29 \ge 12\]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    \[5x \ge 12 - 29\]

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

    \[5x \ge - 17\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.\]

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

    \[x \ge \frac{{ - 17}}{5}\]

    \[x \ge - 3,4\]

Наименьшее значение неравенства равно -3,4 (неравенство нестрогое, поэтому -3,4 входит в множество решений). Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой: naimenshee-reshenie-neravenstva

Ответ: -3,4.

2) Назвать наименьшее решение неравенства:

    \[{(3x + 2)^2} - (9x - 1)(x + 1) > 17\]

Первые скобки раскроем по формуле квадрата суммы. Перед произведением двух скобок стоит знак «минус», поэтому, чтобы не допустить ошибки в знаках, лучше сначала выполнить умножение, а уже потом раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:

    \[9{x^2} + 12x + 4 - (9{x^2} + 9x - x - 1) > 17\]

    \[9{x^2} + 12x + 4 - 9{x^2} - 9x + x + 1 > 17\]

    \[4x + 5 > 17\]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    \[4x > 17 - 5\]

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом

    \[4x > 12\_\_\_\left| {:4 > 0} \right.\]

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

    \[x > 3\]

Решением данного неравенства является любое число, большее 3:najti-naimenshee-reshenie-neravenstva

Но наименьшего решения неравенство не имеет — 3 не входит в решение, так как неравенство строгое, а любое другое число, большее 3, наименьшим решением не является.

Ответ: неравенство наименьшего решения не имеет.

3) Найти наименьшее целое решение неравенства:

    \[\frac{{x - 2}}{5} - \frac{2}{3} \ge \frac{{3x + 2}}{6} - x\]

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 30:

    \[\frac{{x - {2^{\backslash 6}}}}{5} - \frac{{{2^{\backslash 10}}}}{3} \ge \frac{{3x + {2^{\backslash 5}}}}{6} - {x^{\backslash 30}}\_\_\_\left| { \cdot 30 > 0} \right.\]

    \[6(x - 2) - 20 \ge 5(3x + 2) - 30x\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

    \[6x - 32 \ge - 15x + 10\]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

    \[6x + 15x \ge 10 + 32\]

    \[21x \ge 42\_\_\_\left| {:21 > 0} \right.\]

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 21 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

    \[x \ge 2\]

naimenshee-celoe-reshenie-neravenstva

Наименьшим целым решением данного неравенства является x=2 (так как неравенство нестрогое, 2 входит в множество решений).

Ответ: 2.

4) Найти наименьшее натуральное решение неравенства:

    \[2x(x - 4) - (2x + 5)(x - 10) < 2(5x + 34)\]

Упрощаем:

    \[2{x^2} - 8x - (2{x^2} - 20x + 5x - 50) < 10x + 68\]

    \[2{x^2} - 8x - 2{x^2} + 20x - 5x + 50 < 10x + 68\]

    \[7x + 50 < 10x + 68\]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

    \[7x - 10x < 68 - 50\]

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

    \[ - 3x < 18\_\_\_\left| {:( - 3) < 0} \right.\]

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

    \[x > \frac{{18}}{{ - 3}}\]

    \[x > - 6\]

naimenshee-naturalnoe-reshenie-neravenstva

Наименьшим натуральным решением этого неравенства является x=1.

Ответ: 1.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>