Найти целые цешения системы неравенств

В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.

1) Найти целые решения системы неравенств:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 9x + 3 > 7x - 5\\ 5 - x < 15 - 6x \end{array} \right.\]

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 9x - 7x > - 5 - 3\\ - x + 6x < 15 - 5 \end{array} \right.\]

После упрощения разделим обе части каждого неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x > - 8\_\_\_\left| {:2 > 0} \right.\\ 5x < 10\_\_\_\left| {:5 > 0} \right. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > - 4\\ x < 2 \end{array} \right.\]

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).

Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:

najti-celye-cesheniya-sistemy-neravenstv

Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Какие целые решения имеет система неравенств?

    \[\left\{ \begin{array}{l} 4x + 1 \ge x - 5\\ 37 - 8x > 17 - 4x \end{array} \right.\]

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком

    \[\left\{ \begin{array}{l} 4x - x \ge - 5 - 1\\ - 8x + 4x > 17 - 37 \end{array} \right.\]

Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3x \ge - 6\_\_\_\left| {:3 > 0} \right.\\ - 4x > - 20\_\_\_\left| {:( - 4) < 0} \right. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x \ge - 2\\ x < 5 \end{array} \right.\]

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:

celye-cesheniya-sistemy-neravenstv

Целые решения на промежутке  [-2;5) - это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.

3) Сколько целых решений имеет система неравенств?

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3x - 4 \ge 5x + 3\\ 11x - 2 \le 15 + x \end{array} \right.\]

Переносим неизвестные в одну сторону, известные - в другую:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3x - 5x \ge 3 + 4\\ 11x - x \le 15 + 2 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x \le 7\_\_\_\left| {:( - 2) < 0} \right.\\ 10x \le 17\_\_\_\left| {:10 > 0} \right. \end{array} \right.\]

Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x \ge - 3,5\\ x \le 1,7 \end{array} \right.\]

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:

skolko-celyh-ceshenij-imeet-sistema-neravenstv

Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

Ответ: 5.

4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

    \[\left\{ \begin{array}{l} 12 - 3x \ge 5x - 4\\ 5x - 5 \ge 17 - 6x \end{array} \right.\]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 3x - 5x \ge - 4 - 12\\ 5x + 6x \ge 17 + 5 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 8x \ge - 16\_\_\_\left| {:( - 8) < 0} \right.\\ 11x \ge 22\_\_\_\left| {:11 > 0} \right. \end{array} \right.\]

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x \le 2\\ x \ge 2 \end{array} \right.\]

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.najti-kolichestvo-celyh-ceshenij-sistemy-neravenstv

Множество решений системы состоит из единственного элемента — {2}. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.

Ответ: 1.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>