Неполные квадратные уравнения

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

    \[a{x^2} + bx = 0\]

Общий множитель x выносим за скобки:

    \[x \cdot (ax + b) = 0\]

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[x = 0;ax + b = 0\]

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

    \[ax = - b\_\_\_\left| {:a} \right.\]

    \[x = - \frac{b}{a}\]

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.

Примеры.

    \[1){x^2} + 18x = 0\]

Общий множитель x выносим за скобки:

    \[x \cdot (x + 18) = 0\]

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[x = 0;x + 18 = 0\]

    \[x = 0;x = - 18\]

Ответ: 0; -18.

    \[2)15x - 5{x^2} = 0\]

Общий множитель 5x выносим за скобки:

    \[5x \cdot (3 - x) = 0\]

Приравниваем к нулю каждый множитель:

    \[5x = 0;3 - x = 0\]

    \[x = 0;x = 3\]

Ответ: 0; 3.

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c  — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами  некоторых рациональных чисел):

    \[a{x^2} - c = 0\]

    \[(\sqrt a x - \sqrt c ) \cdot (\sqrt a x + \sqrt c ) = 0\]

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[\sqrt a x - \sqrt c = 0;\sqrt a x + \sqrt c = 0\]

    \[\sqrt a x = \sqrt c ;\sqrt a x = - \sqrt c \]

    \[x = \frac{{\sqrt c }}{{\sqrt a }};x = - \frac{{\sqrt c }}{{\sqrt a }}\]

    \[x = \sqrt {\frac{c}{a}} ;x = - \sqrt {\frac{c}{a}} \]

    \[1){x^2} - 49 = 0\]

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

    \[(x - 7) \cdot (x + 7) = 0\]

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

    \[x - 7 = 0;x + 7 = 0\]

    \[x = 7;x = - 7\]

Ответ: 7; -7.

    \[2)81 - 16{x^2} = 0\]

    \[(9 - 4x) \cdot (9 + 4x) = 0\]

    \[9 - 4x = 0;9 + 4x = 0\]

    \[ - 4x = - 9;4x = - 9\]

    \[x = \frac{9}{4};x = - \frac{9}{4}\]

    \[x = 2,25;x = - 2,25\]

Ответ: 2,25; -2,25.

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

    \[3)25{x^2} + 1 = 0\]

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

    \[4) - 5{x^2} - 20 = 0\]

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

    \[a{x^2} - c = 0\]

    \[a{x^2} = c\]

    \[{x^2} = \frac{c}{a}\]

    \[x = \pm \sqrt {\frac{c}{a}} \]

Примеры.

    \[1)7{x^2} - 28 = 0\]

    \[7{x^2} = 28\_\_\_\left| {:7} \right.\]

    \[{x^2} = 4\]

    \[x = \pm \sqrt 4 \]

    \[x = \pm 2\]

Ответ:±2.

    \[2)11{x^2} - 2 = 0\]

    \[11{x^2} = 2\]

    \[{x^2} = \frac{2}{{11}}\]

    \[x = \pm \sqrt {\frac{2}{{11}}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

    \[x = \pm \frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\]

Ответ:

    \[ \pm \frac{{\sqrt {22} }}{{11}}.\]

    \[3)2{x^2} + 8 = 0\]

    \[2{x^2} = - 8\]

    \[{x^2} = - 4\]

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

    \[4) - 7 - 5{x^2} = 0\]

    \[ - 5{x^2} = 7\_\_\_\left| {:( - 5)} \right.\]

    \[{x^2} = - \frac{7}{5}\]

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

    \[{x_1} = {x_2} = 0\]

Примеры.

    \[1)7{x^2} = 0\]

    \[x = 0\]

Ответ: 0.

    \[2) - 1,2{x^2} = 0\]

    \[x = 0\]

Ответ: 0.

    \[3)\frac{4}{9}{x^2} = 0\]

    \[x = 0\]

Ответ: 0.

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>