Неполный квадрат суммы

Неполный квадрат суммы в алгебре встречается в качестве составной части формулы разности кубов. Важно при преобразовании многочленов научиться видеть неполный квадрат и не путать его с полным квадратом суммы.

Неполный квадрат суммы — это сумма трех слагаемых, два из которых являются квадратами некоторых выражений, а третье равно произведению этих выражений.

У неполного квадрата суммы, в отличие от полного, произведение выражений не удваивается.

С помощью букв неполный квадрат суммы можно записать так:

${a^2} + ab + {b^2}$

С помощью схемы —

Примеры неполных квадратов —

$1){8^2} + 8 \cdot z + {z^2};$

$2){t^2} + t \cdot 5 + {5^2}.$

На практике квадраты и произведение записаны в свернутом виде, поэтому, чтобы понять, является ли выражение полным либо неполным квадратом суммы, его надо проанализировать. На первых шагах изучения темы формулы имеет смысл подробно расписывать, в дальнейшем — делать это устно.

Как определить, является ли некоторое выражение неполным квадратом суммы?

Признаки неполного квадрата суммы

1) Выражение состоит ровно из трех положительных слагаемых.

2) Два слагаемых представляют собой квадраты некоторых выражений.

3) Третье слагаемое равно произведению этих двух выражений.

Например,

$3)49{a^2} + 21ab + 9{b^2}$

49y²=(7y)², 9b²=(3b)². Проверяем, равно ли третье слагаемое произведению 7y и 3b: 7y∙3b=21ab — да, равно. Значит, это выражение является неполным квадратом суммы.

С помощью схемы это можно записать так:

$4)36{m^2} + 60mn + 25{n^2}$

36m²=(6m)², 25n²=(5n)². Проверяем, равно ли третье слагаемое произведению 6m и 5n: 6m∙5n=30mn≠60mn. Значит, это выражение не является неполным квадратом суммы (60mn=2∙6m∙5n, то есть здесь есть полный квадрат суммы).

Слагаемые в выражении могут стоять в произвольном порядке (не обязательно в соответствии с формулой).

Например,

$5)pq + \frac{4}{9}{p^2} + 2\frac{1}{4}{q^2} =$

$= pq + {(\frac{2}{3}p)^2} + \frac{9}{4}{q^2} =$

$= pq + {(\frac{2}{3}p)^2} + {(\frac{3}{2}q)^2} =$

$= {(\frac{2}{3}p)^2} + \frac{2}{3}p \cdot \frac{3}{2}q + {(\frac{3}{2}q)^2};$

$6)100 + 9{d^8} + 30{d^4} =$

$= {10^2} + 10 \cdot 3{d^4} + {(3{d^4})^2}.$

Иногда выражение, не являющееся неполным квадратом суммы, может быть к нему приведено. Например,

$7) - 81{c^2} - 16 - 36c$

Здесь все три слагаемые — с «-«, то есть это выражение квадратом суммы быть не может. А что, если вынести «минус» за скобки? При этом знак каждого слагаемого в скобках изменится на противоположный:

$- 81{c^2} - 16 - 36c = - (81{c^2} + 16 + 36c) =$