ОДЗ уравнения — конечное число значений

Если ОДЗ уравнения состоит из конечного числа значений, достаточно подставить каждое значение в уравнение, чтобы проверить, является ли это значение корнем.

Примеры применения конечной ОДЗ к решению уравнений.  

    \[1)5x - \sqrt[6]{{3 + 5x - 2{x^2}}} + \sqrt {x - 3} = 15\]

Под знаком корня чётной степени должно стоять неотрицательное число, поэтому

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3 + 5x - 2{x^2} \ge 0\\ x - 3 \ge 0 \end{array} \right.\]

Первое неравенство — квадратичное, решаем его методом интервалов. Второе — линейное.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

odz-uravneniya-konechnoe-chislo-znachenij

ОДЗ состоит из единственного значения: {3}.

Остаётся выполнить проверку, является ли 3 корнем уравнения:

    \[5 \cdot 3 - \sqrt[6]{{3 + 5 \cdot 3 - 2 \cdot {3^2}}} + \sqrt {3 - 3} = 15\]

    \[15 = 15\]

Получили верное равенство, следовательно, x=3 — корень данного уравнения.

Ответ: 3.

    \[2)\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + \sqrt {9 - {x^2}} + 1 = \sqrt {x - 2} \]

Под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное число. Отсюда ОДЗ

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 6 \ge 0\\ 9 - {x^2} \ge 0\\ x - 2 \ge 0 \end{array} \right.\]

Первые два неравенства — квадратичные. Решаем их методом интервалов. Третье — линейное. Отмечаем решение каждого неравенства на числовой прямой и находим пересечение решений:

odz-uravneniya-neskolko-chisel

ОДЗ состоит из двух значений: {2; 3}.

Выполним проверку.

При x=2

    \[\sqrt {{2^2} - 5 \cdot 2 + 6} + \sqrt {9 - {2^2}} + 1 = \sqrt {2 - 2} \]

    \[\sqrt 5 + 1 \ne 0\]

При x=3

    \[\sqrt {{3^2} - 5 \cdot 3 + 6} + \sqrt {9 - {3^2}} + 1 = \sqrt {3 - 2} \]

    \[1 = 1\]

Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень x=3.

Ответ:3.

    \[3)4\arcsin (2x - 1) + {(x - 1)^{\frac{7}{9}}} = 2\pi \]

Область допустимых значений арксинуса — закрытый промежуток от -1 до  1. В основании степени с нецелым положительным показателем должно стоять неотрицательное число. ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le 2x - 1 \le 1\\ x - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 1\\ x \ge 1 \end{array} \right.\]

Таким образом, область допустимых значений уравнения состоит из одного значения:{1}. Остаётся проверить, является ли x=1 корнем данного уравнения.

    \[4\arcsin (2 \cdot 1 - 1) + {(1 - 1)^{\frac{7}{9}}} = 2\pi \]

    \[4 \cdot \frac{\pi }{2} = 2\pi \]

    \[2\pi = 2\pi \]

Ответ: 1.
Если ОДЗ уравнения состоит из одного или нескольких чисел, этот способ может помочь легко и быстро справиться с заданием.

Как и другие способы решения уравнений, основанные на свойствах функций, применение конечного числа значений часто ОДЗ позволяет решить достаточно сложные нестандартные задания. И хотя в школьном курсе алгебры он проявляется не часто, полезно его помнить и уметь применять.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>