Степень с отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

    \[{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\]

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

    \[{a^{ - 1}} = \frac{1}{a}\]

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

    \[{a^{ - \frac{m}{n}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{m}{n}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[n]{{{a^m}}}}}\]

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

    \[{a^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt a }}\]

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

    \[{(\frac{a}{b})^{ - n}} = {(\frac{b}{a})^n}\]

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

    \[{(\frac{a}{b})^{ - 1}} = \frac{b}{a}\]

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

    \[1){7^{ - 2}} = \frac{1}{{{7^2}}} = \frac{1}{{49}};\]

    \[2){4^{ - 1}} = \frac{1}{4};\]

    \[3){( - 5)^{ - 3}} = \frac{1}{{{{( - 5)}^3}}} = \frac{1}{{ - 125}} = - \frac{1}{{125}};\]

    \[4){(\frac{5}{{12}})^{ - 1}} = \frac{{12}}{5} = 2,4;\]

    \[5){(\frac{2}{9})^{ - 2}} = {(\frac{9}{2})^2} = \frac{{81}}{4} = 20\frac{1}{4}.\]

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

    \[6){(1\frac{2}{3})^{ - 4}} = {(\frac{5}{3})^{ - 4}} = {(\frac{3}{5})^4} = \frac{{81}}{{625}};\]

    \[6){( - 5\frac{1}{2})^{ - 2}} = {( - \frac{{11}}{2})^{ - 2}} = {( - \frac{2}{{11}})^2} = \frac{4}{{121}}.\]

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

    \[8){(49)^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{{49}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {49} }} = \frac{1}{7};\]

    \[9){(0,216)^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{{{(0,216)}^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(0,216)}^2}}}}} = \]

    \[ = \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{{(0,216)}})}^2}}} = \frac{1}{{{{(0,6)}^2}}} = \frac{1}{{0,36}} = \]

    \[ = \frac{1}{{\frac{{36}}{{100}}}} = \frac{{100}}{{36}} = \frac{{25}}{9} = 2\frac{7}{9};\]

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

    \[{(0,216)^{ - \frac{2}{3}}} = {(\frac{{216}}{{1000}})^{ - \frac{2}{3}}} = {(\frac{{27}}{{125}})^{ - \frac{2}{3}}} = \]

    \[ = {(\frac{{125}}{{27}})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{{27}})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{{27}}}})^2} = \]

    \[ = {(\frac{5}{3})^2} = \frac{{25}}{9} = 2\frac{7}{9}.\]

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

    \[10){(0,0004)^{ - 1,5}} = {(\frac{4}{{10000}})^{ - 1,5}} = {(\frac{1}{{2500}})^{ - 1,5}} = \]

    \[ = {2500^{1,5}} = {2500^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{2500}^3}} = {(\sqrt {2500} )^3} = \]

    \[ = {50^3} = 125000.\]

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

       

1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>