Степень с отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

    \[{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\]

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

    \[{a^{ - 1}} = \frac{1}{a}\]

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

    \[{a^{ - \frac{m}{n}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{m}{n}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[n]{{{a^m}}}}}\]

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

    \[{a^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt a }}\]

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

    \[{(\frac{a}{b})^{ - n}} = {(\frac{b}{a})^n}\]

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

    \[{(\frac{a}{b})^{ - 1}} = \frac{b}{a}\]

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

    \[1){7^{ - 2}} = \frac{1}{{{7^2}}} = \frac{1}{{49}};\]

    \[2){4^{ - 1}} = \frac{1}{4};\]

    \[3){( - 5)^{ - 3}} = \frac{1}{{{{( - 5)}^3}}} = \frac{1}{{ - 125}} = - \frac{1}{{125}};\]

    \[4){(\frac{5}{{12}})^{ - 1}} = \frac{{12}}{5} = 2,4;\]

    \[5){(\frac{2}{9})^{ - 2}} = {(\frac{9}{2})^2} = \frac{{81}}{4} = 20\frac{1}{4}.\]

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

    \[6){(1\frac{2}{3})^{ - 4}} = {(\frac{5}{3})^{ - 4}} = {(\frac{3}{5})^4} = \frac{{81}}{{625}};\]

    \[6){( - 5\frac{1}{2})^{ - 2}} = {( - \frac{{11}}{2})^{ - 2}} = {( - \frac{2}{{11}})^2} = \frac{4}{{121}}.\]

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

    \[8){(49)^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{{49}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {49} }} = \frac{1}{7};\]

    \[9){(0,216)^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{{{(0,216)}^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(0,216)}^2}}}}} = \]

    \[ = \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{{(0,216)}})}^2}}} = \frac{1}{{{{(0,6)}^2}}} = \frac{1}{{0,36}} = \]

    \[ = \frac{1}{{\frac{{36}}{{100}}}} = \frac{{100}}{{36}} = \frac{{25}}{9} = 2\frac{7}{9};\]

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

    \[{(0,216)^{ - \frac{2}{3}}} = {(\frac{{216}}{{1000}})^{ - \frac{2}{3}}} = {(\frac{{27}}{{125}})^{ - \frac{2}{3}}} = \]

    \[ = {(\frac{{125}}{{27}})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{{27}})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{{27}}}})^2} = \]

    \[ = {(\frac{5}{3})^2} = \frac{{25}}{9} = 2\frac{7}{9}.\]

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

    \[10){(0,0004)^{ - 1,5}} = {(\frac{4}{{10000}})^{ - 1,5}} = {(\frac{1}{{2500}})^{ - 1,5}} = \]

    \[ = {2500^{1,5}} = {2500^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{2500}^3}} = {(\sqrt {2500} )^3} = \]

    \[ = {50^3} = 125000.\]

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

       

8 комментариев

  • Devas37:

    Класс !!!

  • Виктория:

    Большое спасибо!

  • Ваня:

    Спасибо огромное.

  • Ансаган:

    Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(

    • admin:

      Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.

    • Alex:

      Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО!..»

      :))

      А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно?

      Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д.

      🙁

      При разбавлении спирта водой, в конце концов! :))

      Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи:

      В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…

  • Полина:

    Спасибо ,мне очень помогло !

  • Luisa:

    Огромное спасибо

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *