Полный квадрат разности

Полный квадрат разности  в алгебре встречается при решении самых разных заданий, поэтому важно вовремя научиться с ним работать.

Каждая из формул сокращенного умножения является тождеством, то есть может быть использована как для перехода от левой части к правой, так и от правой к левой.

Правая часть формулы квадрата разности называется полным квадратом разности (есть еще неполный квадрат, о нем мы будем говорить позже).

Таким образом, полный квадрат разности можно свернуть по формуле

    \[{a^2} - 2ab + {b^2} = {(a - b)^2}\]

Например,

    \[1){z^2} - 2 \cdot z \cdot 8 + {8^2} = {(z - 8)^2}\]

На практике, однако, прежде чем воспользоваться формулой, выражение надо преобразовать.

На начальном этапе работы с формулой также может быть полезна следующая схема:

polnyiy kvadrat raznosti

Например, нужно свернуть полный квадрат разности

    \[2)25{a^2} - 30ab + 9{b^2}\]

Преобразуем выражение так, чтобы оно содержало квадраты двух выражений и удвоенное произведение этих выражений:

    \[25{a^2} - 30ab + 9{b^2} = \]

    \[ = {(5a)^2} - 2\cdot5a\cdot3b + {(3b)^2} = \]

    \[ = {(5a - 3b)^2}\]

С помощью схемы это можно записать так:

polnyiy kvadrat

В начале изучения темы в примерах в учебнике слагаемые в формуле полного квадрата разности расставляют в соответствие с формулой. На практике слагаемые  могут стоять в произвольном порядке.

Например,

    \[3)0,16{m^2} + 121{n^2} - 8,8mn = \]

    \[ = {(0,4m)^2} - 2 \cdot 0,4m \cdot 11n + {(11n)^2} = \]

    \[ = {(0,4m - 11n)^2}\]

Как определить полный квадрат разности?

1) Полный квадрат разности состоит ровно из трех слагаемых.

2) Два слагаемых со знаком «+» перед ними являются квадратами некоторых выражений.

3) Третье слагаемое со знаком «-» перед ним равно удвоенному произведению этих выражений.

Например,

    \[4)9{x^2} + 1 - 6x = \]

Здесь квадратами являются первое и второе слагаемые: 9x²=(3x)², 1²=1. Проверяем, равно ли слагаемое 6x удвоенному произведению 3x и 1:

2∙3x∙1=6x. Да, является. Значит, выражение является полным квадратом разности и его можно свернуть по формуле:

    \[ = {(3x)^2} - 2 \cdot 3x \cdot 1 + {1^2} = {(3x - 1)^2}\]

    \[5)10ab - \frac{{25}}{{49}}{a^2} - 49{b^2}\]

Здесь два слагаемых со знаком «-» перед ними, значит, это выражение полным квадратом разности не является.

Попробуем вынести знак «минус» за скобки. При этом все знаки в скобках изменятся на противоположные:

    \[10ab - \frac{{25}}{{49}}{a^2} - 49{b^2} = \]

    \[ = - (\frac{{25}}{{49}}{a^2} - 10ab + 49{b^2}) = \]

Два слагаемые — квадраты некоторых выражений:

    \[\frac{{25}}{{49}}{a^2} = {(\frac{5}{7}a)^2},49{b^2} = {(7b)^2}\]

Осталось проверить, является ли третье слагаемое удвоенным произведением этих выражений?

    \[2 \cdot \frac{5}{7}a \cdot 7b = \frac{{2 \cdot 5 \cdot \mathop {\overline 7 }\limits^1 }}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 }}ab = 10ab\]

Да, является. Следовательно, можно применить формулу:

    \[ = {(\frac{5}{7}a)^2} - 2 \cdot \frac{5}{7}a \cdot 7b + {(7b)^2} = \]

    \[ = {(\frac{5}{7}a - 7b)^2}\]

Переход от полного квадрата разности к квадрату разности — один из способов разложения многочлена на множители. Вынос знака «минус» за скобки — другой способ, вынесение общего множителя за скобки. Еще один пример на комбинацию двух способов:

    \[6)45{x^3} + 20x - 60{x^2} = \]

Общий множитель 5x выносим за скобки:

    \[ = 5x(9{x^2} + 4 - 12x) = \]

9x²=(3x)²,4=2², 2∙3x∙4=12x. Можем применить формулу:

    \[ = 5x({(3x)^2} - 2 \cdot 3x \cdot 2 + {2^2}) = \]

    \[ = 5x{(3x - 2)^2}.\]

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>