Полный квадрат разности в алгебре встречается при решении самых разных заданий, поэтому важно вовремя научиться с ним работать.
Каждая из формул сокращенного умножения является тождеством, то есть может быть использована как для перехода от левой части к правой, так и от правой к левой.
Правая часть формулы квадрата разности называется полным квадратом разности (есть еще неполный квадрат, о нем мы будем говорить позже).
Таким образом, полный квадрат разности можно свернуть по формуле
Например,
На практике, однако, прежде чем воспользоваться формулой, выражение надо преобразовать.
На начальном этапе работы с формулой также может быть полезна следующая схема:
Например, нужно свернуть полный квадрат разности
Преобразуем выражение так, чтобы оно содержало квадраты двух выражений и удвоенное произведение этих выражений:
С помощью схемы это можно записать так:
В начале изучения темы в примерах в учебнике слагаемые в формуле полного квадрата разности расставляют в соответствие с формулой. На практике слагаемые могут стоять в произвольном порядке.
Например,
Как определить полный квадрат разности?
1) Полный квадрат разности состоит ровно из трех слагаемых.
2) Два слагаемых со знаком «+» перед ними являются квадратами некоторых выражений.
3) Третье слагаемое со знаком «-» перед ним равно удвоенному произведению этих выражений.
Например,
Здесь квадратами являются первое и второе слагаемые: 9x²=(3x)², 1²=1. Проверяем, равно ли слагаемое 6x удвоенному произведению 3x и 1:
2∙3x∙1=6x. Да, является. Значит, выражение является полным квадратом разности и его можно свернуть по формуле:
Здесь два слагаемых со знаком «-» перед ними, значит, это выражение полным квадратом разности не является.
Попробуем вынести знак «минус» за скобки. При этом все знаки в скобках изменятся на противоположные:
Два слагаемые — квадраты некоторых выражений:
Осталось проверить, является ли третье слагаемое удвоенным произведением этих выражений?
Да, является. Следовательно, можно применить формулу:
Переход от полного квадрата разности к квадрату разности — один из способов разложения многочлена на множители. Вынос знака «минус» за скобки — другой способ, вынесение общего множителя за скобки. Еще один пример на комбинацию двух способов:
Общий множитель 5x выносим за скобки:
9x²=(3x)²,4=2², 2∙3x∙4=12x. Можем применить формулу: