График функции y=f(x/k)

Преобразование графика, в частности, растяжение и сжатие, — способ построение графика функции, который позволяет быстро и легко строить график на основе графика элементарной функции.

График функции y=f(x/k) (где k>1) может быть получен  из графика функции y=f(x) с помощью растяжения от оси Oy в k раз.

При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (kx; y) графика y=f(kx):

(x; y) → (kx; y)

(то есть абсцисса (x) каждой точки начального графика увеличивается в k раз, а ордината (y) остаётся без изменения. Точка, лежащая на оси Oy, останется на месте (так как k∙ 0=0).

Примеры.

1) График функции y=(x/3)² можно получить из графика функции y=x² растяжением в 3 раза от оси Oy.

Построим на координатной плоскости график функции y=x² (достаточно отметить его базовые точки). Координату x каждой точки увеличиваем в 3 раза, координату y оставляем без изменения:

(0; 0) → (0; 0),

(1; 1) → (3; 1),

(-1; 1) → (-3; 1),

(2; 4) → (6; 4),

(-2; 4) → (-6; 4),

(3; 9) → (9; 9),

(-3; 9) → (-9; 9).

Таким образом, каждая из точек нового графика удалена от оси Oy в 3 раза дальше, чем соответствующая точка начального графика, а от оси Ox обе точки равноудалены:

preobrazovanie-grafika

 

2) График функции y=(x/4)³ можно получить, растянув от оси Oy в 4 раза график функции y=x³:

(0; 0) → (0; 0),

(1; 1) → (4; 1),

(-1; 1) → (-4; 1),

(2; 8) → (8; 8),

(-2; 8) → (-8; 8).

preobrazovanie-grafika-kubicheskoj-funkcii

 

3) График функции y=|х/2| может быть получен из графика функции y=|х| растяжением от оси ординат в 2 раза:

(0; 0) → (0; 0),

(4; 4) → (8; 4),

(-4; 4) → (-8; 4)

preobrazovanie-grafika-modulya

Трудно переоценить важность свободного владения навыками построения графиков с помощью геометрических преобразований, поскольку с графиками функций в алгебре приходится иметь дело при решении заданий из самых разных тем.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>