Примеры решения систем линейных уравнений методом подстановки

Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений методом подстановки.

    \[1)\left\{ \begin{array}{l} 5x - 2y = - 16, \\ x + 3y = 7. \\ \end{array} \right.\]

В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить x через y и подставить полученное выражение вместо x в первое уравнение:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 5(7 - 3y) - 2y = - 16, \\ x = 7 - 3y. \\ \end{array} \right.\]

Первое уравнение — уравнение с одной переменной y. Решаем его:

5(7-3y)-2y = -16

35-15y-2y= -16

-17y= -51

y=3.

Полученное значение y подставляем в выражение для x:

    \[\left\{ \begin{array}{l} y = 3, \\ x = 7 - 3y = 7 - 3 \cdot 3 = - 2. \\ \end{array} \right.\]

Ответ: (-2; 3).

    \[2)\left\{ \begin{array}{l} 7x + 2y = - 3, \\ 3x - 4y = 23. \\ \end{array} \right.\]

В данной системе проще из первого уравнения выразить y через x и подставить полученное выражение вместо y во второе уравнение:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2y = - 3 - 7x, \\ 3x - 4y = 23 \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} y = - 1,5 - 3,5x, \\ 3x - 4( - 1,5 - 3,5x) = 23 \\ \end{array} \right.\]

Второе уравнение — уравнение с одной переменной x. Решим его:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

3x+6+14x=23

17x=17

x=1.

В выражение для y вместо x подставляем x=1 и находим y:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 1, \\ y = - 1,5 - 3,5x = - 1,5 - 3,5 \cdot 1 = - 5. \\ \end{array} \right.\]

Ответ: (1; -5).

    \[3)\left\{ \begin{array}{l} 4x - 9y = - 1, \\ 3x + 10y = 16. \\ \end{array} \right.\]

Здесь удобнее из второго уравнения выразить y через x (поскольку делить на 10 проще, чем на 4, -9 или 3):

    \[\left\{ \begin{array}{l} 4x - 9y = - 1, \\ 10y = 16 - 3x \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 4x - 9(1,6 - 0,3x) = - 1, \\ y = 1,6 - 0,3x. \\ \end{array} \right.\]

Решаем первое уравнение:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

6,7x=13,4

x=2.

Подставляем x=2 и находим y:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 2, \\ y = 1,6 - 0,3x = 1,6 - 0,3 \cdot 2 = 1. \\ \end{array} \right.\]

Ответ: (2; 1).

    \[4)\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{7} - \frac{b}{3} = 3, \\ 2(a + 3) - 5(b - 1) = 54. \\ \end{array} \right.\]

Прежде чем применить метод подстановки, эту систему следует упростить. Обе части первого уравнения можно умножить на наименьший общий знаменатель, во втором уравнении раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

    \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a^{\backslash 3} }}{7} - \frac{{b^{\backslash 7} }}{3} = 3^{\backslash 21} \_\_\_\left| { \cdot 21} \right. \\ 2a + 6 - 5b + 5 = 54 \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3a - 7b = 63, \\ 2a - 5b = 43. \\ \end{array} \right.\]

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Теперь применим подстановку. Удобно из второго уравнения выразить a через b:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3a - 7b = 63, \\ 2a = 43 + 5b; \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3(21,5 + 2,5b) - 7b = 63, \\ a = 21,5 + 2,5b. \\ \end{array} \right.\]

Решаем первое уравнение системы:

3(21,5 + 2,5b) — 7b = 63

64,5+7,5b-7b=63

0,5b= -1,5

b= -3.

Осталось найти значение a:

    \[\left\{ \begin{array}{l} b = - 3, \\ a = 21,5 + 2,5b = 21,5 + 2,5 \cdot ( - 3) = 14. \\ \end{array} \right.\]

Согласно правилам оформления, ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.

Ответ: (14; -3).

 

Выражая одну переменную через другую, иногда удобнее оставлять её с некоторым коэффициентом.

    \[5)\left\{ \begin{array}{l} 9x - 12y = 78, \\ 4x + 3y = 43. \\ \end{array} \right.\]

В данном случае удобно выразить y через x из второго уравнения. При этом лучше не делить обе части уравнения на 3, а оставить коэффициент 3 рядом с y, поскольку в первом уравнении 12y кратно 3:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 9x - 4 \cdot 3y = 78, \\ 3y = 43 - 4x, \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 9x - 4 \cdot (43 - 4x) = 78, \\ 3y = 43 - 4x, \\ \end{array} \right.\]

9x-4(43-4x)=78

9x-172+16x=78

25x=250

x=10.

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 10, \\ 3y = 43 - 4x = 43 - 4 \cdot 10 = 3, \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 10, \\ y = 1. \\ \end{array} \right.\]

Ответ: (10;1).

 

Из всех способов решения систем уравнений метод подстановки в алгебре используется чаще других. С помощью этого метода могут быть решены не только системы линейных уравнений, но и системы уравнений других видов.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *