Примеры решения систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений способом сложения.

    \[1)\left\{ \begin{array}{l} 5x - 3y = 30, \\ 2x - 3y = 21. \\ \end{array} \right.\]

Ищем наибольший общий делитель коэффициентов при каждой из переменных (коэффициенты берем со знаком «+»).

Наибольший общий делитель коэффициентов при x — НОД(5;2)=10, при y — НОД(3;3)=3.

Проще работать с y, поскольку для получения перед y противоположных чисел достаточно умножить любое из уравнений на -1. Проще умножить на -1 второе уравнение системы (в этом случае после сложения уравнений коэффициент при x — положительное число).

    \[\left\{ \begin{array}{l} 5x - 3y = 30, \\ 2x - 3y = 21\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right. \\ \end{array} \right.\]

    \[+ \frac{{\left\{ \begin{array}{l} 5x - 3y = 30, \\ - 2x + 3y = - 21 \\ \end{array} \right.}}{{3x = 9}}\]

    \[x = 3.\]

Теперь подставим x=3 в любое из уравнений системы, например, во второе:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 3, \\ 2 \cdot 3 - 3y = 21. \\ \end{array} \right.\]

Решаем это уравнение:

6-3y=21

-3y=21-6

-3y=15

y= -5.

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 3, \\ y = -5. \\ \end{array} \right.\]

Ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.

Ответ: (3; -5).

    \[2)\left\{ \begin{array}{l} 6x - 13y = 1, \\ 4x + 5y = -13. \\ \end{array} \right.\]

НОД(6; 4)=12, НОД(13; 5)=65. Проще работать с коэффициентами перед x.

Чтобы получить перед иксами противоположные числа, первую систему умножим на -2, вторую — на 3

    \[\left\{ \begin{array}{l} 6x - 13y = 1\_\_\_\left| { \cdot ( - 2)} \right., \\ 4x + 5y = - 13\_\_\_\left| { \cdot 3} \right., \\ \end{array} \right.\]

и сложим почленно левые и правые части уравнений:

    \[\frac{{\left\{ \begin{array}{l} - 12x + 26y = - 2, \\ 12x + 15y = - 39 \\ \end{array} \right.}}{{41y = - 41}}\]

    \[y = - 1.\]

Подставляем y= -1 в первое уравнение системы и находим x:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 6x - 13 \cdot ( - 1) = 1, \\ y = - 1, \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = - 2, \\ y = - 1. \\ \end{array} \right.\]

Ответ: (-2; -1).

    \[3)\left\{ \begin{array}{l} 3x + 5y = - 11, \\ 5x + 7y = - 21. \\ \end{array} \right.\]

НОД(3; 5)=15, НОД(5; 7)=35. Проще получить противоположные числа перед x.

Для этого умножим первое уравнение системы на 5, второе — на -3:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3x + 5y = - 11\_\_\_\left| { \cdot 5} \right., \\ 5x + 7y = - 21\_\_\_\left| { \cdot ( - 3)} \right., \\ \end{array} \right.\]

и сложим почленное левые и правые части полученных уравнений:

    \[+ \frac{{\left\{ \begin{array}{l} 15x + 25y = - 55, \\ - 15x - 21y = 63 \\ \end{array} \right.}}{{4y = 8}}\]

    \[y = 2.\]

Подставляем y=2 в первое уравнение системы и находим x:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3x + 5 \cdot 2 = - 11, \\ y = 2, \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = - 7, \\ y = 2. \\ \end{array} \right.\]

Ответ: (-7; 2).

    \[ 4)\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a + 3}}{8} + \frac{{b + 2}}{6} = 2, \\ 3(a + 5) - 2(b - 7) = 0. \\ \end{array} \right. \]

Прежде чем применить способ сложения, данную систему следует упростить. Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей, во втором раскроем скобки:

    \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a + 3^{\backslash 3} }}{8} + \frac{{b + 2^{\backslash 4} }}{6} = 2^{\backslash 24} \_\_\_\left| { \cdot 24} \right. \\ 3(a + 5) - 2(b - 7) = 0, \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3(a + 3) + 4(b + 2) = 48, \\ 3a + 15 - 2b + 14 = 0, \\ \end{array} \right.\]

    \[ \left\{ \begin{array}{l} 3a + 4b = 31, \\ 3a - 2b = - 29, \\ \end{array} \right. \]

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Для решения её способом сложения достаточно умножить второе уравнение на -1 и сложить почленно левые и правые части уравнений:

    \[ \left\{ \begin{array}{l} 3a + 4b = 31, \\ 3a - 2b = - 29\_\_\_\left| { \cdot ( - 1),} \right. \\ \end{array} \right. \]

    \[ + \frac{{\left\{ \begin{array}{l} 3a + 4b = 31, \\ - 3a + 2b = 29 \\ \end{array} \right.}}{{6b = 60}} \]

    \[b = 10.\]

Подставляем найденное значение b в первое уравнение системы (линейных уравнений):

    \[ \left\{ \begin{array}{l} 3a + 4 \cdot 10 = 31, \\ b = 10, \\ \end{array} \right. \]

    \[ \left\{ \begin{array}{l} a = - 3, \\ b = 10. \\ \end{array} \right. \]

Ответ: (-3; 10).

    \[ 5)\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 3z = - 1, \\ 4x + 3y - 2z = 10, \\ 3x - 5y + z = 5. \\ \end{array} \right. \]

Систему линейных уравнений с тремя переменными можно решить, сначала исключив одно из неизвестных, а затем — другое.

В данной системе проще всего исключить переменную z.

К первому уравнению прибавим третье, умноженное на -3:

    \[ \begin{array}{l} x - 2y + 3z = - 1, \\ 3x - 5y + z = 5\_\_\_\left| { \cdot ( - 3)} \right. \\ \end{array} \]

    \[ + \frac{\begin{array}{l} x - 2y + 3z = - 1 \\ - 9x + 15y - 3z = - 15 \\ \end{array}}{{ - 8x + 13y = - 16}} \]

Ко второму уравнению прибавим третье, умноженное на 2:

    \[ \begin{array}{l} 4x + 3y - 2z = 10, \\ 3x - 5y + z = 5\_\_\_\left| { \cdot 2} \right. \\ \end{array} \]

    \[ + \frac{\begin{array}{l} 4x + 3y - 2z = 10 \\ 6x - 10y + 2z = 10 \\ \end{array}}{{10x - 7y = 20}} \]

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными:

    \[ \left\{ \begin{array}{l} - 8x + 13y = - 16, \\ 10x - 7y = 20. \\ \end{array} \right. \]

НОК(8;10)=40, НОК(13; 7)=91. Проще работать с x:

    \[ \left\{ \begin{array}{l} - 8x + 13y = - 16\_\_\_\left| { \cdot 5} \right. \\ 10x - 7y = 20\_\_\_\left| { \cdot 4,} \right. \\ \end{array} \right. \]

    \[ + \frac{{\left\{ \begin{array}{l} - 40x + 65y = - 80 \\ 40x - 28y = 80 \\ \end{array} \right.}}{{43y = 0}} \]

    \[ y = 0. \]

Подставив полученные значение y во второе уравнение системы с двумя переменными, найдём x:

    \[ 10x - 7 \cdot 0 = 20 \]

    \[ x = 2. \]

Подставив значения y и x в третье уравнение системы с тремя переменными, найдём z:

    \[ 3 \cdot 2 - 5 \cdot 0 + z = 5 \]

    \[ z = - 1. \]

Ответ: (2; 0; -1).

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *