Произведение суммы и неполного квадрата разности

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности (a плюс в умножить на а в квадрате минус ав плюс в в квадрате) можно найти непосредственным умножением. А можно вывести формулу и в дальнейшем пользоваться ею.

    \[(a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = \]

Умножаем многочлены:

    \[ = {a^3}\underline { - {a^2}b} \underline{\underline { + a{b^2}}} \underline { + {a^2}b} \underline{\underline { - a{b^2}}} + {b^3} = \]

После приведения подобных членов многочленов получаем

    \[ = {a^3} + {b^3}.\]

Таким образом, произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно разности кубов этих выражений.

Формула

    \[(a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}\]

- одна из формул сокращенного умножения, которые называются так потому, что позволяют сократить вычисления.

С помощью схемы произведение суммы и неполного квадрата разности можно изобразить так:

proizvedenie-summy-i-nepolnogo-kvadrata-raznosti

Например,

    \[1)(5 + c)({5^2} - 5c + {c^2}) = {5^3} + {c^3} = 125 + {c^3};\]

На практике так подробно примеры не расписывают. В алгебре важно вовремя научиться видеть формулы и выработать умение их использовать.

Примеры.

    \[2)(2a + 3)(4{a^2} - 6a + 9) = \]

Проверяем, является ли многочлен во вторых скобках неполным квадратом разности выражений, стоящих в первых скобках.

(2a)²=4a, 3²=9, 2a∙3=6a — да.

    \[ = (2a + 3)({(2a)^2} - 2a \cdot 3 + {3^2}) = \]

Значит, перед нами — сумма кубов. Сворачиваем

    \[ = {(2a)^3} + {3^3} = 8{a^3} + 27;\]

На схеме -

umnozhenie-summy-na-nepolnyj-kvadrat-raznosti

    \[3)(10m + 0,2n)(100{m^2} - 2mn + 0,04{n^2}) = \]

(10m)²=100m², (0,2n)²=0,04n², 10m∙0,2n=2mn. Это произведение можно свернуть в сумму кубов:

    \[ = {(10m)^3} + {(0,2n)^3} = 1000{m^3} + 0,002{n^3};\]

    \[4)(\frac{4}{5}x + 1\frac{1}{4}y)(\frac{{16}}{{25}}{x^2} - xy + 1\frac{9}{{16}}{y^2}) = \]

Смешанные числа переводим в неправильные дроби, во вторых скобках выделяем неполный квадрат разности

    \[ = (\frac{4}{5}x + \frac{5}{4}y)({(\frac{4}{5}x)^2} - \frac{4}{5}x \cdot \frac{5}{4}y + {(\frac{5}{4}y)^2}) = \]

Сворачиваем выражение в сумму кубов

    \[ = {(\frac{4}{5}x)^3} + {(\frac{5}{4}y)^3} = \frac{{64}}{{125}}{x^3} + \frac{{125}}{{64}}{y^3} = \]

Из неправильной дроби выделяем целую часть

    \[ = \frac{{64}}{{125}}{x^3} + 1\frac{{61}}{{64}}{y^3};\]

    \[5)({a^{10}} + 7)({a^{20}} - 7{a^{10}} + 49) = \]

    \[ = ({a^{10}} + 7)({({a^{10}})^2} - 7 \cdot {a^{10}} + {7^2}) = \]

    \[ = {({a^{10}})^3} +{7^3} = {a^{30}} + 343.\]

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>