Произведение суммы и неполного квадрата разности

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности (a плюс в умножить на а в квадрате минус ав плюс в в квадрате) можно найти непосредственным умножением. А можно вывести формулу и в дальнейшем пользоваться ею.

$(a + b)({a^2} - ab + {b^2}) =$

Умножаем многочлены:

$= {a^3}\underline { - {a^2}b} \underline{\underline { + a{b^2}}} \underline { + {a^2}b} \underline{\underline { - a{b^2}}} + {b^3} =$

После приведения подобных членов многочленов получаем

$= {a^3} + {b^3}.$

Таким образом, произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно разности кубов этих выражений.

Формула

$(a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}$

— одна из формул сокращенного умножения, которые называются так потому, что позволяют сократить вычисления.

С помощью схемы произведение суммы и неполного квадрата разности можно изобразить так:

Например,

$1)(5 + c)({5^2} - 5c + {c^2}) = {5^3} + {c^3} = 125 + {c^3};$

На практике так подробно примеры не расписывают. В алгебре важно вовремя научиться видеть формулы и выработать умение их использовать.

Примеры.

$2)(2a + 3)(4{a^2} - 6a + 9) =$

Проверяем, является ли многочлен во вторых скобках неполным квадратом разности выражений, стоящих в первых скобках.

(2a)²=4a, 3²=9, 2a∙3=6a — да.

$= (2a + 3)({(2a)^2} - 2a \cdot 3 + {3^2}) =$

Значит, перед нами — сумма кубов. Сворачиваем

$= {(2a)^3} + {3^3} = 8{a^3} + 27;$

На схеме —

$3)(10m + 0,2n)(100{m^2} - 2mn + 0,04{n^2}) =$

(10m)²=100m², (0,2n)²=0,04n², 10m∙0,2n=2mn. Это произведение можно свернуть в сумму кубов:

$= {(10m)^3} + {(0,2n)^3} = 1000{m^3} + 0,002{n^3};$

$4)(\frac{4}{5}x + 1\frac{1}{4}y)(\frac{{16}}{{25}}{x^2} - xy + 1\frac{9}{{16}}{y^2}) =$

Смешанные числа переводим в неправильные дроби, во вторых скобках выделяем неполный квадрат разности

$= (\frac{4}{5}x + \frac{5}{4}y)({(\frac{4}{5}x)^2} - \frac{4}{5}x \cdot \frac{5}{4}y + {(\frac{5}{4}y)^2}) =$

Сворачиваем выражение в сумму кубов

$= {(\frac{4}{5}x)^3} + {(\frac{5}{4}y)^3} = \frac{{64}}{{125}}{x^3} + \frac{{125}}{{64}}{y^3} =$

Из неправильной дроби выделяем целую часть

$= \frac{{64}}{{125}}{x^3} + 1\frac{{61}}{{64}}{y^3};$

$5)({a^{10}} + 7)({a^{20}} - 7{a^{10}} + 49) =$

$= ({a^{10}} + 7)({({a^{10}})^2} - 7 \cdot {a^{10}} + {7^2}) =$

$= {({a^{10}})^3} +{7^3} = {a^{30}} + 343.$

Добавить комментарий Отменить ответ