Растяжение и сжатие — один из видов геометрических преобразований, благодаря которому на основе графиков элементарных функций можно легко строить графики многих других функций.
График функции y=f(kx) (где k>1) может быть получен из графика функции y=f(x) сжатием к оси Oy в k раз.
При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x/k; y) графика y=f(kx):
(x; y) → (x/k; y)
(то есть абсциссу (x) каждой точки начального графика уменьшаем в k раз, а ординату (y) оставляем без изменения. При этом точка, лежащая на оси Oy, остаётся на месте (так как 0:k=0).
Примеры.
1) График функции y=(2x)² можно получить из графика функции y=x² с помощью сжатия к оси Oy в 2 раза.
На координатной плоскости строим график функции y=x² (можно отметить только его базовые точки). Затем координату x каждой точки делим на 2, а координату y оставляем без изменения. Таким образом, каждая точка нового графика становится ближе в 2 раза к оси Oy, чем точка начального графика (от оси Ox обе точки находятся на одинаковом расстоянии):
(0; 0) → (0; 0),
(1; 1) → (1/2; 1),
(-1; 1) → (-1/2; 1),
(2; 4) → (1; 4),
(-2; 4) → (-1; 4),
(3; 9) → (3/2; 9),
(-3; 9) → (-3/2; 9), и т. д.
График y=(2x)² из графика y=x²
2) График функции y=√(5x) можно получить, сжав график функции y=√x к оси Oy в 5 раз:
(0; 0) → (0; 0),
(1; 1) → (1/5; 1),
(4; 2) → (4/5; 2),
(9; 3) → (9/5; 3),
(16; 4) → (16/5; 4),
(25; 5) → (5; 5),
(36; 6) → (36/5; 6),
(49; 7) → (49/5; 7), и т. д.
3) График функции y=|4х| может быть получен из графика функции y=|х| сжатием к оси Oy в 4 раза:
(0; 0) → (0; 0),
(8; 8) → (2; 8),
(-8; 8) → (-2; 8)
Преобразование графиков применяется при решении примеров из различных разделов алгебры.