Раздожение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители можно выполнить, используя следующую теорему.

Теорема

(О разложении квадратного трёхчлена на множители)

1) Если квадратное уравнение

    \[a{x^2} + bx + c = 0\]

имеет два корня x1 и x2, квадратный трёхчлен ax²+bx+c можно разложить на множители по формуле

    \[a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})\]

2) Если уравнение имеет один корень x1, квадратный трёхчлен можно представить в виде

    \[a{x^2} + bx + c = a{(x - {x_1})^2}\]

3) Если уравнение не имеет корней, то квадратный трёхчлен ax²+bx+c в действительных числах не раскладывается на множители.

Примеры разложения квадратного трёхчлена на линейные множители.

    \[1)2{x^2} - 5x - 3\]

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, надо решить квадратное уравнение

    \[2{x^2} - 5x - 3 = 0\]

    \[a = 2;b = - 5;c = - 3\]

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {( - 5)^2} - 4 \cdot 2 \cdot ( - 3) = 49,\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5) \pm \sqrt 49 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 \pm 7}}{4}\]

    \[{x_1} = \frac{{5 + 7}}{4} = 3;{x_2} = \frac{{5 - 7}}{4} = - \frac{1}{2}\]

Подставляем a=2, x1=3, x2= -1/2 в формулу

    \[a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})\]

Получаем

    \[2{x^2} - 5x - 3 = 2(x - 3)(x - ( - \frac{1}{2})) = \]

    \[ = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2})\]

Удобно внести 2 во вторые скобки. Для этого 2 умножим на каждое слагаемое в этих скобках:

    \[2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 2 \cdot \frac{1}{2}) = \]

    \[ = (x - 3)(2x + 1)\]

Таким образом,

    \[2{x^2} - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1).\]

    \[2){x^2} + 9x - 22\]

    \[a = 1;b = 9;c = - 22\]

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {9^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 22) = 169,\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 9 \pm \sqrt {169} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 9 \pm 13}}{2}\]

    \[{x_1} = \frac{{ - 9 + 13}}{2} = 2;{x_2} = \frac{{ - 9 - 13}}{2} = - 11\]

    \[a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})\]

    \[{x^2} + 9x - 22 = 1 \cdot (x - 2)(x - ( - 11)) = \]

    \[ = (x - 2)(x + 11).\]

    \[3)9{x^2} - 12x + 4\]

    \[a = 9;b = - 12;c = 4\]

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {( - 12)^2} - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 0,\]

    \[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 12)}}{{2 \cdot 9}} = \frac{2}{3}\]

Квадратный трехчлен раскладываем на множители по формуле

    \[a{x^2} + bx + c = a{(x - {x_1})^2}\]

    \[9{x^2} - 12x + 4 = 9 \cdot {(x - \frac{2}{3})^2}\]

Чтобы внести множитель в скобки, представим его как квадрат (чтобы воспользоваться свойством степеней a²b²=(ab)²): 9=3².

    \[ = {3^2} \cdot {(x - \frac{2}{3})^2} = {(3 \cdot (x - \frac{2}{3}))^2} = \]

    \[ = {(3x - 3 \cdot \frac{2}{3})^2} = {(3x - 2)^2}.\]

Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант (или дискриминант, делённый на 4), по теореме, обратной теореме Виета или используя формулы особых случаев.

Разложить квадратный трёхчлен на множители можно, не прибегая к помощи теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители. Для этого слагаемое с bx представляют в виде суммы или разности двух слагаемых и используют способ группировки.

Например,

    \[{x^2} - 2x - 24 = {x^2} - 6x + 4x - 24 = \]

    \[ = ({x^2} - 6x) + (4x - 24) = \]

    \[ = x(x - 6) + 4(x - 6) = (x - 6)(x + 4).\]

Выбирайте для себя тот способ, который нравится лично вам, в котором вы чувствуете себя наиболее уверенно и не допускаете ошибок.

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители в алгебре используется для сокращения дробей, при решении уравнений и неравенств, при построении графиков и т.д.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>