Решение дробно-рациональных уравнений

В прошлый раз мы рассмотрели решение дробно-рациональных уравнений приведением уравнений к виду «дробь равна нулю».

Решение дробно-рациональных уравнений с помощью введения вспомогательной переменной удобно в том случае, когда переменная входит в уравнение в выражениях одного вида.

Рассмотрим этот способ решения дробно-рациональных уравнений на конкретных примерах.

    \[1)\frac{{{x^2}}}{{{{(3x - 1)}^2}}} - \frac{{4x}}{{3x - 1}} = 5\]

ОДЗ: x≠1/3.

Пусть

    \[\frac{x}{{3x - 1}} = t,\]

тогда

    \[\frac{{{x^2}}}{{{{(3x - 1)}^2}}} = {t^2}\]

и получаем квадратное уравнение

    \[{t^2} - 4t - 5 = 0\]

Его корни —

    \[{t_1} = - 1;{t_2} = 5\]

Возвращаемся к исходной переменной

    \[\frac{x}{{3x - 1}} = - 1;\frac{x}{{3x - 1}} = 5\]

Оба уравнения удобнее всего решить, воспользовавшись основным свойством пропорции. Запишем их в виде

    \[\frac{x}{{3x - 1}} = \frac{{ - 1}}{1};\frac{x}{{3x - 1}} = \frac{5}{1}\]

и приравняем произведение крайних и средних членов пропорций:

    \[ - (3x - 1) = x;5(3x - 1) = x\]

    \[ - 4x = - 1;14x = 5\]

    \[x = \frac{1}{4};x = \frac{5}{{14}}\]

Ответ:

    \[\frac{1}{4};\frac{5}{{14}}.\]

    \[2)\frac{1}{{{x^2} - 2x - 1}} + \frac{2}{{{x^2} - 2x + 1}} = 1\]

Если привести дроби к наименьшему общему основанию непосредственно, в числителе получим многочлен четвёртой степени. Замена

    \[{x^2} - 2x = t,\]

приводит к дробно-рациональному уравнению 

    \[\frac{1}{{t - 1}} + \frac{2}{{t + 1}} = 1\]

Переносим все слагаемые в левую сторону и приводим дроби к НОЗ:

    \[\frac{{{1^{\backslash (t + 1)}}}}{{t - 1}} + \frac{{{2^{\backslash (t - 1)}}}}{{t + 1}} - {1^{\backslash (t - 1)(t + 1)}} = 0\]

    \[\frac{{(t + 1) + 2(t - 1) - ({t^2} - 1)}}{{(t - 1)(t + 1)}} = 0\]

    \[\frac{{t + 1 + 2t - 2 - {t^2} + 1}}{{(t - 1)(t + 1)}} = 0\]

    \[\frac{{ - {t^2} + 3t}}{{(t - 1)(t + 1)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {t^2} + 3t = 0\\ (t - 1)(t + 1) \ne 0 \end{array} \right.\]

    \[(t - 1)(t + 1) \ne 0\]

    \[t \ne 1;t \ne - 1\]

- эти значения переменной, при которой знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ.

    \[ - {t^2} + 3t = 0\left| {:( - 1)} \right.\]

    \[{t^2} - 3t = 0\]

    \[t(t - 3) = 0\]

    \[{t_1} = 0;{t_2} = 3\]

Оба корня удовлетворяют условиям на t. Обратная замена

    \[{x^2} - 2x = 0;{x^2} - 2x = 3\]

    \[x(x - 2) = 0;{x^2} - 2x - 3 = 0\]

    \[{x_1} = 0;{x_2} = 2;{x_2} = - 1;{x_4} = 3\]

Ответ: -1; 0; 2; 3.

    \[3)\frac{{x - 3}}{{x + 2}} + \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 4\frac{1}{4}\]

ОДЗ: x≠-2; x≠3.

Пусть

    \[\frac{{x - 3}}{{x + 2}} = t,\]

тогда

    \[\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{1}{t}.\]

Из ОДЗ следует, что t≠0.

    \[t + \frac{1}{t} = \frac{{17}}{4}\]

    \[{t^{\backslash 4t}} + \frac{{{1^{\backslash 4}}}}{t} = \frac{{{{17}^{\backslash t}}}}{4}\_\_\_\left| { \cdot (4t) \ne 0} \right.\]

    \[4{t^2} - 17t + 4 = 0\]

    \[{t_1} = 4;{t_2} = \frac{1}{4}\]

Обратная замена

    \[\frac{{x - 3}}{{x + 2}} = 4;\frac{{x - 3}}{{x + 2}} = \frac{1}{4}\]

По основному свойству пропорции

    \[4(x + 2) = x - 3;x + 2 = 4(x - 3)\]

    \[4x + 8 = x - 3;x + 2 = 4x - 12\]

    \[3x = - 11; - 3x = - 14\]

    \[{x_1} = - 3\frac{2}{3};{x_2} = 4\frac{2}{3}\]

Ответ:

    \[ - 3\frac{2}{3};4\frac{2}{3}.\]

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>