Решение квадратных уравнений

Рассмотрим решение квадратных уравнений на конкретных примерах.

В прошлый раз мы выяснили, как решать неполные квадратные уравнения различных видов.В этот раз речь пойдет о полных квадратных уравнениях.

    \[1)3{x^2} - 7x + 4 = 0\]

Определяем коэффициенты: 

    \[a = 3;b = - 7;c = 4\]

и находим дискриминант

    \[D = {b^2} - 4ac = {( - 7)^2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1.\]

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 7) \pm \sqrt 1 }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{7 \pm 1}}{6},\]

    \[{x_1} = \frac{{7 + 1}}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3};\]

    \[{x_2} = \frac{{7 - 1}}{6} = 1.\]

Ответ: 1 1/3; 1.

    \[2){x^2} - x - 90 = 0\]

    \[a = 1;b = - 1;c = - 90\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 90) = \]

    \[ = 1 + 360 = 361.\]

Так как D>0, в уравнении — два корня:

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \]

    \[ = \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {361} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{1 \pm 19}}{2},\]

    \[{x_1} = \frac{{1 + 19}}{2} = \frac{{20}}{2} = 10;\]

    \[{x_2} = \frac{{1 - 19}}{2} = \frac{{ - 18}}{2} = - 9.\]

Ответ: 10; -9.

    \[3)2{x^2} + 13x + 6 = 0\]

    \[a = 2;b = 13;c = 6\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {13^2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = \]

    \[ = 169 - 48 = 121.\]

Дискриминант положителен, 2 корня:

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \]

    \[ = \frac{{ - 13 \pm \sqrt {121} }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{ - 13 \pm 11}}{4},\]

    \[{x_1} = \frac{{ - 13 + 11}}{4} = \frac{{ - 2}}{4} = - 0,5;\]

    \[{x_2} = \frac{{ - 13 - 11}}{4} = \frac{{ - 24}}{4} = - 6.\]

    \[4){x^2} + 2x - 5 = 0\]

    \[a = 1;b = 2;c = - 5\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 5) = 24.\]

Найдём корни

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {24} }}{{2 \cdot 1}} = \]

Квадратный корень из 24 не извлекается, но 24 можно разложить на множители так, чтобы из одного из множителей извлечь корень: 24=4∙6

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {24} }}{{2 \cdot 1}} = \]

    \[ = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 \cdot 6} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 2\sqrt 6 }}{2} = \]

    \[ = \frac{{\mathop {\overline 2 }\limits^1 \cdot ( - 1 \pm \sqrt 6 )}}{{\mathop {\underline 2 }\limits_1 }} = - 1 \pm \sqrt 6 .\]

Ответ: -1±√6.

    \[5)4{x^2} + 12x + 9 = 0\]

    \[a = 4;b = 12;c = 9\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {12^2} - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0.\]

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

    \[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{12}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2} = 1,5.\]

Ответ: 1,5.

    \[6)2{x^2} - x + 1 = 0\]

    \[a = 2;b = - 1;c = 1\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = \]

    \[ = 1 - 8 = - 7 < 0.\]

Так как дискриминант отрицателен, данное квадратное уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет.

    \[7) - {x^2} - 9x + 22 = 0\]

Если коэффициент a<0, обычно обе части уравнения делят на -1 (для удобства вычислений):

    \[ - {x^2} - 9x + 22 = 0\_\_\_\left| {:( - 1)} \right.\]

Знак каждого слагаемого изменяется на противоположный

    \[{x^2} + 9x - 22 = 0\]

    \[a = 1;b = 9;c = - 22\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {9^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 22) = \]

    \[ = 81 + 88 = 169 > 0,\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 9 \pm \sqrt {169} }}{{2 \cdot 1}} = \]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 9 \pm \sqrt {169} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 9 \pm 13}}{2},\]

    \[{x_1} = \frac{{ - 9 + 13}}{2} = \frac{4}{2} = 2,\]

    \[{x_2} = \frac{{ - 9 - 13}}{2} = \frac{{ - 22}}{2} = - 11.\]

Ответ: 2; -11.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>