Стандартный вид числа

Определение

Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения

    \[ a \cdot 10^n , \]

где

    \[ 1 \le a < 10, \]

    \[ n \in Z. \]


Число n называется порядком числа, записанного в стандартном виде.

В стандартном виде можно записать любое положительное число.

Как правило, стандартный вид числа используют для записи больших и малых величин.

Примеры.

Записать число в стандартном виде и указать порядок числа:

1) 8 765 000;

2) 12 346 000 000;

3) 723,4;

4) 0,00123;

5) 0,000057;

6) 0,000729;

7) 5430·10⁵;

8) 0,0321·10⁸;

    \[ 9)0,23 \cdot 10^{ - 3} ; \]

    \[ 10)475 \cdot 10^{ - 12} . \]

Решение:

Чтобы записать число в стандартном виде, надо представить его в виде произведения, первый множитель которого — число от единицы до десяти (1≤a<10), второй — степень десяти.

1) Число 8 765 000 больше 10. Запятой в числе не видим, значит, по умолчанию она находится в конце записи:

8 765 000= 8 765 000,

Если перенести запятую влево на 6 знаков, получим число, большее 1 и меньшее 10:

standartnyj-vid-chisla

На 6 знаков влево запятую переносим при делении числа на миллион:

1 000 000 =10⁶, то есть данное число разделили на 10⁶. Чтобы число не изменилось, умножаем результат на 10⁶:

    \[8765000 = 8765000:10^6 \cdot 10^6 = \]

    \[= 8,765 \cdot 10^6 \]

Получили число, записанное в стандартном виде. Его порядок n=6.

При решении примеров на приведение числа к стандартному виду удобнее деление числа на 

    \[10^n \]

заменить умножением на

    \[10^{ - n} ,\]

то есть

    \[8765000 = 8765000 \cdot 10^{ - 6} \cdot 10^6 = \]

    \[ = 8,765 \cdot 10^6 . \]

Итак, для приведения к стандартному виду числа, больше либо равного 10, запятую в его  записи переносим влево на n цифр и результат умножаем на 10 в степени n:

 

predstavit-chislo-v-standartnom-vide

 

2) 12 346 000 000=12 346 000 000,
Чтобы величина первого множителя входила в промежуток от 1 до 10, надо запятую в записи данного числа перенести на 10 знаков влево, а чтобы число не изменилось, умножить результат на 10¹º:

    \[ 12346000000 = 1,2346 \cdot 10^{10} . \]

Это число записано в стандартном виде. Его порядок n=10.

3) 723,4

Чтобы первый множитель соответствовал условию 1≤a<10, нужно перенести запятую в записи числа на 2 цифры влево. Чтобы число не изменилось, умножим результат на 10²:

723,4=7,234·10².

Результат — число, записанное в стандартном виде. Его порядок n=2.

4) Чтобы первый множитель в стандартной записи числа удовлетворял условию  1≤a<10, запятую в 0,00123 нужно перенести на 3 цифры вправо

chislo-v-standartnom-vide

что соответствует умножению числа на 10³. Чтобы число не изменилось, результат умножаем на 10 в минус третьей степени:

    \[0,00123 = 1,23 \cdot 10^{ - 3} .\]

Порядок числа n= -3.

Таким образом, для приведения к стандартному виду числа, меньшего единицы, запятую в его записи переносим на n цифр вправо и результат умножаем на 10 в степени -n:

 

zapisat-chislo-v-standartnom-vide

 

    \[ 5)0,000057 = 5,7 \cdot 10^{ - 5} \]

Переносим запятую в записи числа на 5 цифр вправо (что соответствует умножению числа на 10⁵). Результат умножаем на 10 в минус пятой степени. Порядок числа n= -5.

    \[ 6)0,000729 = 7,29 \cdot 10^{ - 4} \]

Порядок числа n= -4.

    \[ 7)5430 \cdot 10^5 = 5,43 \cdot 10^3 \cdot 10^5 = 5,43 \cdot 10^8 \]

Число 5430 представляем в стандартном виде. Для этого запятую в его записи переносим на 3 цифры влево и результат умножаем на 10³.

Далее выполняем умножение степеней с одинаковыми основаниями.

Порядок числа n=6.

    \[ 8)0,0321 \cdot 10^8 = 3,21 \cdot 10^{ - 2} \cdot 10^8 = \]

    \[ = 3,21 \cdot 10^6 \]

Порядок числа n=6.

    \[ 9)0,23 \cdot 10^{ - 3} = 2,3 \cdot 10^{ - 1} \cdot 10^{ - 3} = \]

    \[ = 2,3 \cdot 10^{ - 4} \]

Порядок числа n= -4.

    \[ 10)475 \cdot 10^{ - 12} = 4,75 \cdot 10^2 \cdot 10^{ - 12} = \]

    \[ = 4,75 \cdot 10^{ - 10} \]

Порядок числа n= -10.

 

Сравнение чисел, записанные в стандартном виде

  • Сравниваем порядок чисел. Число с большим порядком больше числа с меньшим порядком.
  • Если числа имеют одинаковые порядки, сравнивают первые множители произведения.

 

sravnit-chisla-v-standartnom-vide

 

Примеры

    \[ 1)2,37 \cdot 10^8 > 9,8 \cdot 10^7 \]

так как порядок первого числа больше порядка второго числа (8>7);

    \[ 2)7,5 \cdot 10^{ - 8} < 1,6 \cdot 10^{ - 7} \]

поскольку порядок первого числа меньше порядка второго числа (-8<-7);

    \[ 3)3,4 \cdot 10^9 > 2,97 \cdot 10^9 \]

так как при равных порядках первый множитель у первого числа больше, чем у второго (3,4>2,97).

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *