Степень многочлена

Что такое степень многочлена? Как определить степень одночлена?

Определение.

Степенью многочлена  называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Обычно, прежде чем искать степень многочлена, его приводят к многочлену стандартного вида, хотя, вообще говоря, это не обязательно.

Итак, чтобы найти степень многочлена:

1) Можно привести многочлен к стандартному виду.

2) Найти степень всех входящих в него одночленов — членов многочлена.

3) Выбрать наибольшую из этих степеней.

Примеры.

Найти степень многочлена:

    \[1)7{x^2}y - 11xy + 4y - 9;\]

    \[2)10{x^2}{y^3} + 32{x^4} - 12{x^2}{y^2};\]

    \[3)14a{a^2} - 3{a^3}b + 8ab \cdot 2{b^2} - 2{a^3}b;\]

    \[4)1,7x + 2y - 12;\]

    \[5)20.\]

Решение:

    \[1)7{x^2}y - 11xy + 4y - 9;\]

Данный многочлен записан в стандартном виде. Степень первого члена многочлена — одночлена 7x²y — равна 2+1=3. Степень второго члена многочлена — -11xy — равна 1+1=2. Степень третьего члена многочлена — 4y — равна 1. -9 — одночлен нулевой степени.

Наибольшая из степеней одночленов — 3. Таким образом, это — многочлен третьей степени.

    \[2)10{x^2}{y^3} + 32{x^4} - 12{x^2}{y^2};\]

Здесь 10x²y³ — одночлен 5-й степени, 32x⁴ — 4-й, -12x²y² — также одночлен 4-й степени. Наибольшая из степеней одночленов — 5. Следовательно, это — многочлен 5-й степени.

3) Сначала приведем данный многочлен к стандартному виду:

    \[14a{a^2} - 3{a^3}b + 8ab \cdot 2{b^2} - 2{a^3}b = \]

    \[ = 14{a^3}\underline { - 3{a^3}b} + 16a{b^3}\underline { - 2{a^3}b} = \]

    \[ = 14{a^3} - 5{a^3}b + 16a{b^3}.\]

14a³ — одночлен 3-й степени, -5a³b — 4-й, 16ab³ — также одночлен 4-й степени. Наибольшая из степеней входящих в многочлен одночленов — 4. Таким образом, данный многочлен имеет четвертую степень.

Хотя в алгебре принято упрощать многочлен, приводя его к стандартному виду, степень можно искать и для многочлена, не записанного в стандартном виде.

    \[4)1,7x + 2y - 12;\]

1,7x — одночлен 1-й степени, 2y — одночлен 1-й степени, -12 — одночлен 0-й степени. Значит,  это — многочлен первой степени.

    \[5)20\]

Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. 20 — одночлен 0-й степени. Следовательно, 20  является многочленом нулевой степени.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>