Сумма кубов

В алгебре формулы сокращенного умножения — тождества, то есть любая из формул верна как для перехода от правой части к левой, так и от левой к правой.

Мы выяснили, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата разности равно сумме кубов этих выражений. И обратно,

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.  

Формула суммы кубов:

    \[{a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})\]

С помощью схемы сумму кубов можно представить так:

summa-kubov

Например,

    \[1){4^3} + {z^3} = (4 + z)({4^2} - 4z + {z^2}) = \]

    \[ = (4 + z)(16 - 4z + {z^2});\]

На практике, чтобы пользоваться формулой суммы кубов, ее надо научиться видеть.

Например, в сумме

    \[2)1000 + 27{y^3} = \]

сначала надо увидеть, что 1000 — это куб 10, а 27y³ — куб  (3y):

    \[ = {10^3} + {(3y)^3} = \]

и только потом расписать его как сумму кубов:

    \[ = (10 + y)({10^2} - 10y + {y^2}) = \]

    \[ = (10 + y)(100 - 10y + {y^2});\]

На первом этапе изучения формулы можно использовать схему.

Например,

summa-kubov-formula

Таблица кубов от 1 до 10 поможет нам увидеть кубы чисел:

    \[{\begin{array}{*{20}{l}} {{1^3} = 1}\\ {{2^3} = 8}\\ {{3^3} = 27}\\ {{4^3} = 64}\\ {{5^3} = 125}\\ {{6^3} = 216}\\ {{7^3} = 343}\\ {{8^3} = 512}\\ {{9^3} = 729}\\ {{{10}^3} = 1000} \end{array}}\]

 Свойство степеней поможет определить куб степени:

    \[{{a^n} = {{({a^{\frac{n}{3}}})}^3}}\]

Рассмотрим еще примеры разложения по формуле суммы кубов.

    \[3)8{a^3} + 125{b^3} = {(2a)^3} + {(5b)^3} = \]

    \[ = (2a + 5b)({(2a)^2} - 2a \cdot 5b + {(5b)^2}) = \]

    \[ = (2a + 5b)(4{a^2} - 10ab + 25{b^2});\]

    \[4){x^{36}} + {y^{15}} = {({x^{12}})^3} + {({y^5})^3} = \]

    \[ = ({x^{12}} + {y^5})({({x^{12}})^2} - {x^{12}} \cdot {y^5} + {({y^5})^2}) = \]

    \[ = ({x^{12}} + {y^5})({x^{24}} - {x^{12}}{y^5} + {y^{10}});\]

    \[5)0,343{m^3} + 1000000{n^3} = \]

Чтобы определить, сколько цифр после запятой нужно записать в десятичной дроби, если известен ее куб, надо количество знаков после запятой в кубе числа разделить на 3:

    \[ = {(0,7m)^3} + {(0,01n)^3} = \]

    \[ = (0,7m + 0,01n)({(0,7m)^2} - \]

    \[ - 0,7m \cdot 0,01n + {(0,01n)^2}) = \]

    \[ = (0,7m + 0,01n)(0,49{m^2} - 0,007mn + \]

    \[ + 0,0001{n^2});\]

    \[6)3\frac{3}{8}{a^6} + 64 = \frac{{27}}{8}{a^6} + 64 = {(\frac{3}{2}{a^2})^3} + {4^3} = \]

    \[ = (\frac{3}{2}{a^2} + 4)({(\frac{3}{2}{a^2})^2} - \frac{3}{2}{a^2} \cdot 4 + {4^2}) = \]

    \[ = (\frac{3}{2}{a^2} + 4)(\frac{9}{4}{a^4} - \frac{{3 \cdot \mathop {\overline 4 }\limits^2 }}{{\mathop {\underline 2 }\limits_1 }}{a^2} + 16) = \]

    \[ = (1\frac{1}{2}{a^2} + 4)(2\frac{1}{4}{a^4} - 6{a^2} + 16).\]

В алгебре формулу суммы кубов чаще всего используют для упрощения действия разложения многочленов на множители.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>