Сумма квадратов

Сумма квадратов встречается в ходе преобразования числовых и буквенных выражений. Как с ней работать?

Поскольку сумма квадратов является составной частью формул полного квадрата суммы и разности, можно попробовать применить одну из этих формул.

Формула полного квадрата суммы состоит из трёх слагаемых — сумма квадратов двух слагаемых плюс удвоенное произведение этих слагаемых. Следовательно, для получения полного квадрата к сумме квадратов двух выражений следует прибавить удвоенное произведение этих выражений, и, чтобы выражение не изменилось, вычесть это произведение:

    \[{a^2} + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} - 2ab = \]

    \[ = {(a + b)^2} - 2ab.\]

Аналогично, для получения полного квадрата разности следует из суммы квадратов двух выражений вычесть удвоенное произведение этих выражений и тут же прибавить его:

    \[{a^2} + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2} + 2ab = \]

    \[ = {(a - b)^2} + 2ab.\]

Рассмотрим, как эти рассуждения могут быть применены на практике.

Дано:

    \[{x^2} + \frac{9}{{{x^2}}} = 10\]

Найти:

    \[x + \frac{3}{x}\]

Решение:

    \[{x^2} + \frac{9}{{{x^2}}} = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + {(\frac{3}{x})^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} = \]

    \[ = {(x + \frac{3}{x})^2} - 6\]

Теперь используем данные условия:

    \[{(x + \frac{3}{x})^2} - 6 = 10\]

    \[{(x + \frac{3}{x})^2} = 16\]

Получили неполное квадратное уравнение.Отсюда

    \[x + \frac{3}{x} = 4;x + \frac{3}{x} = - 4\]

Ответ: 4 или -4.

Эти рассуждения применяются, например, в приложении теоремы Виета, когда не решая квадратного уравнения, требуется найти сумму квадратов его корней и т.п.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>