Сумма квадратов

Сумма квадратов встречается в ходе преобразования числовых и буквенных выражений. Как с ней работать?

Поскольку сумма квадратов является составной частью формул полного квадрата суммы и разности, можно попробовать применить одну из этих формул.

Формула полного квадрата суммы состоит из трёх слагаемых — сумма квадратов двух слагаемых плюс удвоенное произведение этих слагаемых. Следовательно, для получения полного квадрата к сумме квадратов двух выражений следует прибавить удвоенное произведение этих выражений, и, чтобы выражение не изменилось, вычесть это произведение:

${a^2} + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} - 2ab =$

$= {(a + b)^2} - 2ab.$

Аналогично, для получения полного квадрата разности следует из суммы квадратов двух выражений вычесть удвоенное произведение этих выражений и тут же прибавить его:

${a^2} + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2} + 2ab =$

$= {(a - b)^2} + 2ab.$

Рассмотрим, как эти рассуждения могут быть применены на практике.

Дано:

${x^2} + \frac{9}{{{x^2}}} = 10$

Найти:

$x + \frac{3}{x}$

Решение:

${x^2} + \frac{9}{{{x^2}}} = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + {(\frac{3}{x})^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} =$

$= {(x + \frac{3}{x})^2} - 6$

Теперь используем данные условия:

${(x + \frac{3}{x})^2} - 6 = 10$

${(x + \frac{3}{x})^2} = 16$

Получили неполное квадратное уравнение.Отсюда

$x + \frac{3}{x} = 4;x + \frac{3}{x} = - 4$

Ответ:-3;-1; 1; 3.

Эти рассуждения применяются, например, в приложении теоремы Виета, когда не решая квадратного уравнения, требуется найти сумму квадратов его корней и т.п.

Сумма квадратов

3 комментария

Добавить комментарий Отменить ответ