Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнения, сводящиеся к квадратным, в алгебре встречаются практически в каждой теме. Один вид уравнений, приводимых к квадратным — биквадратные уравнения — мы уже рассмотрели.

При решение уравнений, сводящихся к квадратным, чаще всего применяют один и тот же приём — введение новой переменной. Отличаются лишь выражения, которые заменяют на новую переменную.

Рассмотрим, как решать уравнения, приводимые к квадратным, на конкретных примерах.

    \[1){({x^2} + 2x)^2} - 7({x^2} + 2x) - 8 = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Подстановка

    \[{x^2} + 2x = t\]

приводит исходное уравнение к квадратному относительно переменной t:

    \[{t^2} - 7t - 8 = 0\]

По теореме, обратной теореме Виета

    \[\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = 7\\ {t_1} \cdot {t_2} = - 8 \end{array} \right. \Rightarrow {t_1} = - 1;{t_2} = 8\]

Обратная замена:

    \[{x^2} + 2x = - 1;{x^2} + 2x = 8\]

    \[1){x^2} + 2x + 1 = 0\]

    \[{(x + 1)^2} = 0\]

    \[x = - 1\]

    \[2){x^2} + 2x - 8 = 0\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 2\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 8 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 4;{x_2} = 2\]

Ответ: -4; -1; 2.

    \[2){x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0\]

ОДЗ: x≠0, то есть x∈ (-∞; 0)U(0; ∞).

Уравнения, содержащие слагаемые с взаимно-обратными выражениями вида

    \[x + \frac{1}{x}\]

и

    \[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\]

решаются с помощью замены

    \[x + \frac{1}{x} = t,\]

причём t≠0, так как x≠0.

Выразим сумму их квадратов через t.

Чтобы привести выражение к квадрату суммы x и 1/x, прибавим и вычтем удвоенное произведение их суммы:

    \[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = \]

    \[ = ({x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}) - 2 = \]

    \[ = {(x + \frac{1}{x})^2} - 2 = {t^2} - 2.\]

В итоге приходим к квадратному уравнению

    \[{t^2} - 2 - 4t + 5 = 0\]

    \[{t^2} - 4t + 3 = 0\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = 4\\ {t_1} \cdot {t_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = 3\]

Возвращаемся к исходной переменной:

    \[x + \frac{1}{x} = 1;x + \frac{1}{x} = 3\]

    \[1)x + \frac{1}{x} - 1 = 0\_\_\_\left| { \cdot x \ne 0} \right.\]

    \[{x^2} - x + 1 = 0\]

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {( - 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 < 0\]

Уравнение не имеет действительных корней.

    \[2)x + \frac{1}{x} - 3 = 0\_\_\_\left| { \cdot x \ne 0} \right.\]

    \[{x^2} - 3x + 1 = 0\]

    \[D = {( - 3)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2 \cdot a}} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\]

Ответ:

    \[\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}.\]

Вывод: если 

    \[x + \frac{1}{x} = t,mo\]

    \[{\rm{ }}{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2.\]

Если 

    \[x - \frac{1}{x} = t,mo\]

    \[{\rm{ }}{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} + 2.\]

Аналогично решаем уравнения с суммой чисел, отличающихся от взаимно-обратных на числовой множитель.

    \[3)\frac{9}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{4} - 3 \cdot (\frac{3}{x} - \frac{x}{2}) - \frac{7}{4} = 0\]

ОДЗ: x≠0, т.е. x∈ (-∞; 0)U(0; ∞).

Замена переменной:

    \[\frac{3}{x} - \frac{x}{2} = t,t \ne 0,\]

следовательно,выделяем квадрат разности этого выражения

    \[\frac{9}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{9}{{{x^2}}} - 2 \cdot \frac{3}{x} \cdot \frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{4} + 2 \cdot \frac{3}{x} \cdot \frac{x}{2} = \]

    \[ = (\frac{9}{{{x^2}}} - 2 \cdot \frac{3}{x} \cdot \frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{4}) + 3 = \]

    \[ = {(\frac{3}{x} - \frac{x}{2})^2} + 3 = {t^2} + 3.\]

Получили новое уравнение, которое является квадратным относительно переменной t:

    \[{t^2} + 3 - 3t - \frac{7}{4} = 0\]

    \[{t^2} - 3t + \frac{5}{4} = 0\]

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {( - 3)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{5}{4} = 4\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt 4 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{3 \pm 2}}{2}\]

    \[{t_1} = \frac{1}{2};{t_2} = \frac{5}{2}\]

Обратная замена:

    \[1)\frac{{{3^{\backslash 2}}}}{x} - \frac{{{x^{\backslash x}}}}{2} = \frac{{{1^{\backslash x}}}}{2}\_\_\_\left| { \cdot 2x \ne 0} \right.\]

    \[6 - {x^2} = x\]

    \[{x^2} + x - 6 = 0\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 1\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 3;{x_2} = 2\]

    \[2)\frac{{{3^{\backslash 2}}}}{x} - \frac{{{x^{\backslash x}}}}{2} = \frac{{{5^{\backslash x}}}}{2}\_\_\_\left| { \cdot 2x \ne 0} \right.\]

    \[6 - {x^2} = 5x\]

    \[{x^2} + 5x - 6 = 0\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 5\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 6;{x_2} = 1\]

Ответ: -6; -3; 1; 2.

В следующий раз продолжим рассмотрение уравнений, приводимых к квадратным.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>