Задачи на арифметическую прогрессию

Рассмотрим ещё некоторые задачи на арифметическую прогрессию.

1) Бригада маляров красит забор длиной 620 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 155 метров забора. Определить, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

Пусть в первый день бригада покрасила а1 метр забора, во второй — а2 метров и т.д.

Так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров, то длина всего забора представляет собой сумму Sn n членов арифметической прогрессии (аn),  Sn=620 м.

Весь забор бригада красила n дней.

За первый и последний день бригада покрасила (а1n) м, что по условию равно 155 м.

По формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии

    \[ S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n, \]

    \[ 620 = \frac{{155}}{2} \cdot n \]

    \[ n = \frac{{\mathop {\overline {620} }\limits^4 \cdot 2}}{{\mathop {\underline {155} }\limits_1 }} \]

    \[ n = 8 \]

Значит, весь забор бригада красила 8 дней.

Ответ: 8 дней.

2) Рабочие прокладывают тоннель длиною 84 метра, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 7 дней.

Решение:

Пусть в первый день рабочие проложили а1 метров туннеля, во второй — а2 метров и т.д.

Так как рабочие ежедневно увеличивали норму прокладки на одно и то же число метров, то длина всего туннеля представляет собой сумму Sn n членов арифметической прогрессии (аn), Sn=84 м.

За первый день рабочие проложили 3 метра туннеля, поэтому a1=3.

Вся работа была выполнена за 7 дней, поэтому n=7, а количество метров, которое рабочие проложили в последний день работы — это a7.

По формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии

    \[ S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n, \]

    \[ 84 = \frac{{3 + a_7 }}{2} \cdot 7\_\_\left| {:7} \right. \]

    \[ 12 = \frac{{3 + a_7 }}{2} \]

    \[ a_7 = 21 \]

Таким образом, в последний день работы рабочие проложили 21 м туннеля.

Ответ: 21 м.

3) Феде надо решить 140 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Федя решил 8 задач. Определить, сколько задач решил Федя в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

Решение:

Пусть в первый день Федя решил а1 задачу, во второй — а2 задачи и т.д.

Так как Федя ежедневно решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то общее количество всех решенных задач представляет собой сумму Sn n членов арифметической прогрессии (аn), Sn=140 задач.

За первый день Федя решил 8 задач, поэтому a1=8.

Со всеми задачами Федя справился за 7 дней, поэтому n=7, а количество задач, решенных в последний день — это a7.

По формуле

    \[ S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n, \]

    \[ 140 = \frac{{8 + a_7 }}{2} \cdot 7\_\_\left| {:7} \right. \]

    \[ 20 = \frac{{8 + a_7 }}{2} \]

    \[ a_7 = 32 \]

Таким образом, в последний день Федя решил 32 задачи.

Ответ: 32 задачи.

4) Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что в первый день турист прошел 11 километров. Определить, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 81 км.

Решение:

Пусть в первый день турист прошёл а1 км, во второй — а2 км и т.д.

Так как турист каждый день проходит больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние, то расстояние между городами равно сумме Sn n членов арифметической прогрессии (аn), Sn=81 км.

В первый день турист прошел 11 км, поэтому a1=11.

Весь путь турист прошел за 6 дней, значит n=6.

По формуле

    \[ S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n, \]

    \[ 81 = \frac{{11 + a_6 }}{2} \cdot 6\_\_\left| {:3} \right. \]

    \[ 27 = 11 + a_6 \]

    \[ a_6 = 16. \]

По формуле n-го члена арифметической прогрессии

    \[ a_n = a_1 + d(n - 1) \]

    \[ a_6 = a_1 + 5d \]

    \[ 16 = 11 + 5d \]

    \[ d = 0,8. \]

Ещё раз применив формулу n-го члена, найдём a3:

    \[ a_3 = a_1 + 2d \]

    \[ a_3 = 11 + 2 \cdot 0,8 = 12,6. \]

Следовательно, за третий день турист прошел 12,6 км.

Ответ: 12,6 км.

4) Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 6 метров. Определить, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 15 метрам.

Решение:

Пусть в первый день улитка проползла а1 метров, во второй — а2 метров и т.д.

Так как улитка каждый день проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день, то весь её путь равен сумме Sn n членов арифметической прогрессии (аn), Sn=15 м.

Весь путь улитка проползла за n дней.

Так как за первый и последний день улитка проползла 6 м, то а1n=6.

По формуле

    \[ S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n, \]

    \[ 15 = \frac{6}{2} \cdot n \]

    \[ n = 5 \]

Таким образом, на весь путь улитка потратила 5 дней.

Ответ: 5 дней.

5) Маше надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Маша подписала 10 открыток. Определить, сколько открыток было подписано за пятый  день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Решение:

Пусть в первый день Маша подписала а1 открытку, во второй — а2 открытки и т.д.

Так как ежедневно Маша подписывала на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём, то общее количество подписанных ею открыток составляет сумму Sn n членов арифметической прогрессии (аn), Sn=640.

Вся работа была выполнена за 16 дней, поэтому n=16.

За первый день Маша подписала 10 открыток, поэтому а1=10.

По формуле

    \[ S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n, \]

    \[ S_{16} = \frac{{a_1 + a_{16} }}{2} \cdot 16, \]

    \[ 640 = \frac{{10 + a_{16} }}{2} \cdot 16\_\_\left| {:8} \right. \]

    \[ 10 + a_{16} = 80 \]

    \[ a_{16} = 70. \]

По формуле n-го члена арифметической прогрессии,

    \[ a_n = a_1 + d(n - 1) \]

    \[ a_{16} = 10 + 15d \]

    \[ 70 = 10 + 15d \]

    \[ d = 4. \]

Отсюда

    \[ a_5 = a_1 + 4d = 10 + 4 \cdot 4 = 26. \]

Таким образом, на пятый день было подписано 26 открыток.

Ответ: 26 открыток.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *