Задачи на арифметическую прогрессию

Рассмотрим ещё некоторые задачи на арифметическую прогрессию.

1) Бригада маляров красит забор длиной 620 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 155 метров забора. Определить, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

Пусть в первый день бригада покрасила а₁ метр забора, во второй — а₂ метров и т.д.

Так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров, то длина всего забора представляет собой сумму S_n n членов арифметической прогрессии (а_n), S_n=620 м.

Весь забор бригада красила n дней.

За первый и последний день бригада покрасила (а₁+а_n) м, что по условию равно 155 м.

По формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии

$S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n,$

$620 = \frac{{155}}{2} \cdot n$

$n = \frac{{\mathop {\overline {620} }\limits^4 \cdot 2}}{{\mathop {\underline {155} }\limits_1 }}$

$n = 8$

Значит, весь забор бригада красила 8 дней.

Ответ: 8 дней.

2) Рабочие прокладывают тоннель длиною 84 метра, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 7 дней.

Решение:

Пусть в первый день рабочие проложили а₁ метров туннеля, во второй — а₂ метров и т.д.

Так как рабочие ежедневно увеличивали норму прокладки на одно и то же число метров, то длина всего туннеля представляет собой сумму S_n n членов арифметической прогрессии (а_n), S_n=84 м.

За первый день рабочие проложили 3 метра туннеля, поэтому a₁=3.

Вся работа была выполнена за 7 дней, поэтому n=7, а количество метров, которое рабочие проложили в последний день работы — это a₇.

По формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии

$S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n,$

$84 = \frac{{3 + a_7 }}{2} \cdot 7\_\_\left| {:7} \right.$

$12 = \frac{{3 + a_7 }}{2}$

$a_7 = 21$

Таким образом, в последний день работы рабочие проложили 21 м туннеля.

Ответ: 21 м.

3) Феде надо решить 140 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Федя решил 8 задач. Определить, сколько задач решил Федя в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

Решение:

Пусть в первый день Федя решил а₁ задачу, во второй — а₂ задачи и т.д.

Так как Федя ежедневно решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то общее количество всех решенных задач представляет собой сумму S_n n членов арифметической прогрессии (а_n), S_n=140 задач.

За первый день Федя решил 8 задач, поэтому a₁=8.

Со всеми задачами Федя справился за 7 дней, поэтому n=7, а количество задач, решенных в последний день — это a₇.

По формуле

$S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n,$

$140 = \frac{{8 + a_7 }}{2} \cdot 7\_\_\left| {:7} \right.$

$20 = \frac{{8 + a_7 }}{2}$

$a_7 = 32$

Таким образом, в последний день Федя решил 32 задачи.

Ответ: 32 задачи.

4) Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что в первый день турист прошел 11 километров. Определить, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 81 км.

Решение:

Пусть в первый день турист прошёл а₁ км, во второй — а₂ км и т.д.

Так как турист каждый день проходит больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние, то расстояние между городами равно сумме S_n n членов арифметической прогрессии (а_n), S_n=81 км.

В первый день турист прошел 11 км, поэтому a₁=11.

Весь путь турист прошел за 6 дней, значит n=6.

По формуле

$S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n,$

$81 = \frac{{11 + a_6 }}{2} \cdot 6\_\_\left| {:3} \right.$

$27 = 11 + a_6$

$a_6 = 16.$

По формуле n-го члена арифметической прогрессии

$a_n = a_1 + d(n - 1)$

$a_6 = a_1 + 5d$

$16 = 11 + 5d$

$d = 0,8.$

Ещё раз применив формулу n-го члена, найдём a₃:

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_3 = 11 + 2 \cdot 0,8 = 12,6.$

Следовательно, за третий день турист прошел 12,6 км.

Ответ: 12,6 км.

4) Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 6 метров. Определить, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 15 метрам.

Решение:

Пусть в первый день улитка проползла а₁ метров, во второй — а₂ метров и т.д.

Так как улитка каждый день проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день, то весь её путь равен сумме S_n n членов арифметической прогрессии (а_n), S_n=15 м.

Весь путь улитка проползла за n дней.

Так как за первый и последний день улитка проползла 6 м, то а₁+а_n=6.

По формуле

$S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n,$

$15 = \frac{6}{2} \cdot n$

$n = 5$

Таким образом, на весь путь улитка потратила 5 дней.

Ответ: 5 дней.

5) Маше надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Маша подписала 10 открыток. Определить, сколько открыток было подписано за пятый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Решение:

Пусть в первый день Маша подписала а₁ открытку, во второй — а₂ открытки и т.д.

Так как ежедневно Маша подписывала на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём, то общее количество подписанных ею открыток составляет сумму S_n n членов арифметической прогрессии (а_n), S_n=640.

Вся работа была выполнена за 16 дней, поэтому n=16.

За первый день Маша подписала 10 открыток, поэтому а₁=10.

По формуле

$S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n,$

$S_{16} = \frac{{a_1 + a_{16} }}{2} \cdot 16,$