Замена переменной в иррациональных уравнениях

Если в уравнение переменная входит в составе выражения одного и того же вида, то удобно это выражение с переменной обозначить одной буквой — новой переменной. Метод замены переменной используется при решении иррациональных уравнений.

Пример 1.

    \[2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0\]

Решение:

ОДЗ: x≥0.

Пусть

    \[\sqrt[6]{x} = t,\]

здесь t≥0. Получили квадратное уравнение

    \[2{t^2} + 5t - 3 = 0,\]

корни которого —

    \[{t_1} = \frac{1}{2},{t_2} = - 3.\]

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0.

Возвращаемся к исходной переменной:

    \[\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}\]

    \[{\left( {\sqrt[6]{x}} \right)^6} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^6}\]

    \[x = \frac{1}{{64}}\]

Ответ:

    \[\frac{1}{{64}}.\]

Заметим, что условие x≥0 в данном уравнении оказалось лишним. Посторонний корень отсеивается условием на переменную t: t≥0.

Пример 2.

    \[x\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{{{x^5}}} = 3\]

ОЗД: x≥0 (Здесь ОДЗ пишем, поскольку условие x≥0 позволяет нам вносить x под знак корня чётной степени).

Внесём x под знак корня четвёртой степени:

    \[\sqrt[4]{{{x^4} \cdot x}} + 2\sqrt[8]{{{x^5}}} = 3\]

    \[\sqrt[4]{{{x^5}}} + 2\sqrt[8]{{{x^5}}} = 3\]

Пусть

    \[\sqrt[8]{{{x^5}}} = t,t \ge 0.\]

Пришли к квадратному уравнению

    \[{t^2} + 2t - 3,\]

корни которого

    \[{t_1} = 1;{t_2} = - 3.\]

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0.

Обратная замена:

    \[\sqrt[8]{{{x^5}}} = 1\]

    \[{\left( {\sqrt[8]{{{x^5}}}} \right)^6} = {1^6}\]

    \[{x^5} = 1\]

    \[x = 1\]

Ответ: 1.

Пример 3.

    \[{x^2} - x + \sqrt {{x^2} - x - 2} = 8\]

Решение:

ОДЗ:

    \[{x^2} - x - 2 \ge 0\]

Можно не записывать. Посторонний корень (если он появится) отсеивается условием на новую переменную.

Хорошо бы в качестве новой переменной взять

    \[\sqrt {{x^2} - x - 2} .\]

Для этого нам нужно, чтобы выражение,стоящее под знаком корня, входило в уравнение также без корня. У нас пока что есть только его часть, x²-x. Это выражение не изменится, если мы вычтем из него 2 и тут же прибавим 2:

    \[{x^2} - x - 2 + 2 + \sqrt {{x^2} - x - 2} = 8\]

Теперь можем вводить новую переменную.

Пусть

    \[\sqrt {{x^2} - x - 2} = t,t \ge 0.\]

Получаем квадратное уравнение

    \[{t^2} + t - 6 = 0,\]

корни которого

    \[{t_1} = 2;{t_2} = - 3.\]

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. После обратной замены получаем

    \[\sqrt {{x^2} - x - 2} = 2\]

    \[{\left( {\sqrt {{x^2} - x - 2} } \right)^2} = {2^2}\]

    \[{x^2} - x - 2 = 4\]

    \[{x^2} - x - 6 = 0\]

    \[{x_1} = 3;{x_2} = - 2.\]

Ответ: 3; -2.

Пример 4.

    \[{x^2} + 2\sqrt {41 - {x^2}} = 26\]

ОДЗ:41-x²≥0 (можно не записывать).

Хорошо бы в качестве новой переменной взять выражение

    \[\sqrt {41 - {x^2}} .\]

Чтобы так поступить, в уравнении требуется получить выражение 41-x². Для этого сначала умножим обе части уравнения на -1, а затем прибавим и вычтем 41:

    \[{x^2} + 2\sqrt {41 - {x^2}} = 26\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right.\]

    \[ - {x^2} - 2\sqrt {41 - {x^2}} = - 26\]

    \[ - 41 + 41 - {x^2} - 2\sqrt {41 - {x^2}} = - 26\]

Пусть

    \[\sqrt {41 - {x^2}} = t,t \ge 0.\]

Тогда

    \[ - 41 + {t^2} - 2t = - 26\]

    \[{t^2} - 2t - 15 = 0\]

    \[{t_1} = 5;{t_2} = - 3.\]

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. Возвращаемся к исходной переменной:

    \[\sqrt {41 - {x^2}} = 5\]

    \[41 - {x^2} = 25\]

    \[{x^2} = 16\]

    \[{x_1} = 4;{x_2} = - 4.\]

Ответ: ±4.

Пример 5.

    \[\sqrt {3{x^2} - 6x + 7} = 7 + 2x - {x^2}\]

Решение: Чтобы выражение

    \[\sqrt {3{x^2} - 6x + 7} \]

заменить новой переменной, нужно получить в уравнении выражение 3x²-6x+7.

    \[\sqrt {3{x^2} - 6x + 7} = 7 + 2x - {x^2}\_\_\_\left| { \cdot ( - 3)} \right.\]

    \[ - 3\sqrt {3{x^2} - 6x + 7} = - 21 - 6x + 3{x^2}\]

    \[ - 3\sqrt {3{x^2} - 6x + 7} = 3{x^2} - 6x + 7 - 7 - 21\]

Пусть

    \[\sqrt {3{x^2} - 6x + 7} = t,t \ge 0.\]

Тогда

    \[ - 3t = {t^2} - 28\]

    \[{t^2} + 3t - 28 = 0\]

    \[{t_1} = 4;{t_2} = - 7.\]

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0.

Обратная замена

    \[\sqrt {3{x^2} - 6x + 7} = 4\]

    \[{\left( {\sqrt {3{x^2} - 6x + 7} } \right)^2} = {4^2}\]

    \[3{x^2} - 6x + 7 = 16\]

    \[3{x^2} - 6x - 9 = 0\_\_\_\left| {:3} \right.\]

    \[{x^2} - 2x - 3 = 0\]

    \[{x_1} = 3;{x_2} = - 1.\]

Ответ: 3; -1.

Пример 6.

    \[\sqrt {\frac{{x + 4}}{{x - 4}}} - 2\sqrt {\frac{{x - 4}}{{x + 4}}} = \frac{7}{3}\]

Решение:

ОДЗ:

    \[\frac{{x + 4}}{{x - 4}} > 0.\]

Пусть

    \[\sqrt {\frac{{x + 4}}{{x - 4}}} = t,t > 0.\]

Тогда

    \[t - \frac{2}{t} = \frac{7}{3}\_\_\_\left| { \cdot 3t \ne 0} \right.\]

    \[3{t^2} - 7t - 6 = 0\]

    \[{t_1} = 3;{t_2} = - \frac{2}{3}.\]

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. Обратная замена:

    \[\sqrt {\frac{{x + 4}}{{x - 4}}} = 3\]

    \[{\left( {\sqrt {\frac{{x + 4}}{{x - 4}}} } \right)^2} = {3^2}\]

    \[\frac{{x + 4}}{{x - 4}} = 9\]

    \[9(x - 4) = x + 4\]

    \[x = 5.\]

Ответ: 5.

Задания для самостоятельной работы:

    \[1)\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4;\]

    \[2){x^2} + 4 - 5\sqrt {{x^2} - 2} = 0;\]

    \[3)2{x^2} + 6x - 3\sqrt {{x^2} + 3x - 3} = 5;\]

    \[4)\sqrt {{x^2} - 3x + 5} + {x^2} = 3x + 7;\]

    \[5)\sqrt {\frac{{3x + 2}}{{2x - 3}}} + \sqrt {\frac{{2x - 3}}{{3x + 2}}} = \frac{5}{2}.\]

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *