Что такое арккосинус? Для чего вводится понятие арккосинуса?
Функция y=cosx не является монотонной на всей своей области определения. Поэтому для нахождения обратной функции выбираем промежуток [0;π], на котором косинус убывает, то есть выполняется условие обратимости функции:
1) В формулу y=cos x вместо x подставим y, вместо y — x:
x=cos y.
2) Из этого равенства нужно выразить y через x. Для этого вводится определение арккосинуса (арккосинус икс обозначают как arccos x).
Определение.
Арккосинусом числа a называется такое число b из промежутка [0;π], косинус которого равен a:
![\[\arccos a = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b \in \left[ {0;\pi } \right]\\ \cos b = a \end{array} \right.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17896ac41f47525fb9acc6cf4e6fcf1c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Отсюда решение уравнения x=cos y на промежутке [0;π] — y=arccos x.
Функция y=cos x рассматривается для x∈[0;π] и принимает на этом промежутке значения y∈[-1;1]. Соответственно, область определения обратной функции y=arccos x — x∈[-1;1], область значений — y∈[0;π].
Таблица значений косинусов на промежутке [0;π] —
![\[\begin{array}{*{20}{c}} b&\vline& 0&\vline& {\frac{\pi }{6}}&\vline& {\frac{\pi }{4}}&\vline& {\frac{\pi }{3}}&\vline& {\frac{\pi }{2}}\\ \hline {\cos b}&\vline& 1&\vline& {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& {\frac{1}{2}}&\vline& 0 \end{array}\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-743cc5c7930f2fd1c2ca5c4d75e98805_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{array}{*{20}{c}} b&\vline& {\frac{{2\pi }}{3}}&\vline& {\frac{{3\pi }}{4}}&\vline& {\frac{{5\pi }}{6}}&\vline& \pi \\ \hline {\cos b}&\vline& { - \frac{1}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& { - 1} \end{array}\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f33300bda7a3a998c1c9997131bc3aa9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таблица значений арккосинусов —
![\[\begin{array}{*{20}{c}} a&\vline& { - 1}&\vline& { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& { - \frac{1}{2}}\\ \hline {\arccos a}&\vline& \pi &\vline& {\frac{{5\pi }}{6}}&\vline& {\frac{{3\pi }}{4}}&\vline& {\frac{{2\pi }}{3}} \end{array}\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed5468e90db4169adee421aa4c750f18_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{array}{*{20}{c}} a&\vline& 0&\vline& {\frac{1}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& 1\\ \hline {\arccos a}&\vline& {\frac{\pi }{2}}&\vline& {\frac{\pi }{3}}&\vline& {\frac{\pi }{4}}&\vline& {\frac{\pi }{6}}&\vline& 0 \end{array}\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f306873995dcbebdafd10bd145ba6faf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Графики взаимно обратных функций y=arccos x и y=cos x (на рассматриваемом промежутке) симметричны относительно прямой y=x:
В алгебре (в тригонометрии) введение понятия арккосинуса позволяет найти решение простейшего тригонометрического уравнения вида cosx=a.
3 комментария
Огромное спасибо,все понятно. На уроке учитель разжевывал два часа и я не понял ничего. А тут как два пальца))
Данный сайт прекрасный справочник по математике. Нахожу необходимым, немного обновить интерфейс сайта, ибо к примеру: стрелочка в самом конце сайта на переход к старым статьям — «Раньше», достаточно трудно заметить/пользоваться.
Спасибо за отзыв! К сожалению, веб-дизайн — не моя стихия. Изменить размер стрелочки пока что не могу. Сайт по мере сил и наличия свободного времени обещаю развивать.