ax>b | Алгебра

Как решать линейные неравенства вида ax>b и ax<b?

Чтобы найти, каким может быть x, надо обе части неравенства разделить на число, стоящее перед иксом (на a). Но, в отличие от аналогичного действия при решении линейных уравнений, важно, какой знак имеет это число перед иксом.

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (> — на <; < — на >; ≥ — на ≤ ; ≤ — на ≥).

С помощью схемы ход решения неравенств вида ax>b можно изобразить так:

ax-b

При a=0 — частный случай. В частных случаях неравенство либо не имеет решений, либо его решением является любое число. Частные случаи решения линейных неравенств разберём в отдельном посте.

Примеры.

$1)2x > 14\_\_\_\left| {:2 > 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Два больше нуля, поэтому знак неравенства не изменяется:

$x > 7$

Так как неравенство строгое, на числовой прямой отмечаем выколотую точку 7. Штриховка — вправо, на плюс бесконечность:

Так как неравенство строгое, в ответ 7 записываем с круглой скобкой.

Ответ:

$x \in (7;\infty ).$

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двух до бесконечности».

$2) - 5x \ge 12\_\_\_\left| {:( - 5) < 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как минус пять меньше нуля, знак неравенства изменяется на противоположный:

$x \le \frac{{12}}{{ - 5}}$

$x \le - 2,4$

Так как неравенство нестрогое, -2,4 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка влево, на минус бесконечность:

Так как неравенство нестрогое, -2,4 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Ответ:

$x \in ( - \infty ; - 2,4].$

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус двух целых четырёх десятых, включая минус две целые четыре десятые».

$3)12x \le - 20\_\_\_\left| {:12 > 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 12 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

$x \le \frac{{ - 20}}{{12}}$

Сократим дробь на 4

$x \le - \frac{5}{3}$

и выделим целую часть

$x \le - 1\frac{2}{3}$

Так как неравенство нестрогое, точку -1 2/3 на числовой прямой закрашиваем. Штриховка — влево, на минус бесконечность:

Поскольку неравенство нестрогое и точка закрашенная, точка -1 2/3 в ответ записывается с квадратной скобкой.

Ответ:

$x \in ( - \infty ; - 1\frac{2}{3}].$

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус одной целой двух третьих, включая минус одну целую две третьих».

$4) - \frac{1}{7}x < - 3\_\_\_\left| { \cdot ( - 7) < 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Деление на дробь заменяем умножением на обратное ей число, то есть обе части неравенства умножаем на минус семь. Так как -7 — отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный:

$x > 21$

Поскольку неравенство строгое, x=21 на числовой прямой отмечается выколотой точкой. Штриховка — вправо, на плюс бесконечность:

Неравенство — строгое, точка — выколотая, соответствующая точке скобка — круглая.

Ответ:

$x \in (21;\infty ).$

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двадцати одного до бесконечности».

Добавить комментарий Отменить ответ