Дискриминант на 4

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac$

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней квадратного уравнения зависит от знака D/4.

Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:
${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a}$
Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень
$x = \frac{{ - b}}{{2a}}$
Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

$1)5{x^2} + 16x + 3 = 0$

$a = 5;b = 16;c = 3$

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{16}}{2})^2} - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{16}}{2} \pm \sqrt {49} }}{5} = \frac{{ - 8 \pm 7}}{5}$

${x_1} = \frac{{ - 8 + 7}}{5} = - \frac{1}{5} = - 0,2;$

${x_2} = \frac{{ - 8 - 7}}{5} = - \frac{{15}}{5} = - 3$

Ответ: -0,2; -3.

$2)3{x^2} - 28x + 9 = 0$

$a = 3;b = - 28;c = 9$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 28}}{2})^2} - 3 \cdot 9 =$

$= 196 - 27 = 169$

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 28}}{2} \pm \sqrt {169} }}{3} =$

$= \frac{{14 \pm 13}}{3}$

${x_1} = = \frac{{14 + 13}}{3} = \frac{{27}}{2} = 9;$

${x_2} = \frac{{14 - 13}}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: 9; 1/3.

$3)9{x^2} + 42x + 49 = 0$

$a = 9;b = 42;c = 49$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{42}}{2})^2} - 9 \cdot 49 =$

$= 441 - 441 = 0$

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 42}}{{2 \cdot 9}} = - \frac{7}{3} = - 2\frac{1}{3}$

Ответ: -2 1/3.

$4){x^2} - 20x + 136 = 0$

$a = 1;b = - 20;c = 136$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 20}}{2})^2} - 1 \cdot 136 =$

$= 100 - 136 = - 36$

Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

$5)2{x^2} + 8x + 5 = 0$

$a = 2;b = 8;c = 5$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{8}{2})^2} - 2 \cdot 5 = 6$

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{8}{2} \pm \sqrt 6 }}{2} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}$

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Ответ:

$\frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}.$

Добавить комментарий Отменить ответ