Сокращение алгебраических дробей

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе,  нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

    \[1)\frac{{24{a^2}b{c^{30}}}}{{36{a^7}b{c^5}}}\]

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36  это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь —  значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а  при делении степеней показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

    \[\frac{{24{a^2}b{c^{30}}}}{{36{a^7}b{c^5}}} = \frac{{2{c^{25}}}}{{3{a^5}}};\]

    \[2)\frac{{8{x^2} - 12x}}{{2x - 3}}\]

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

    \[\frac{{8{x^2} - 12x}}{{2x - 3}} = \frac{{4x(2x - 3)}}{{2x - 3}} = \frac{{4x}}{1} = 4x;\]

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

    \[3)\frac{{25{x^2} + 10x + 1}}{{25{x^2} - 1}}\]

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе  — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

    \[\frac{{25{x^2} + 10x + 1}}{{25{x^2} - 1}} = \frac{{{{(5x + 1)}^2}}}{{(5x - 1)(5x + 1)}} = \]

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

    \[ = \frac{{(5x + 1)}}{{(5x - 1)}} = \frac{{5x + 1}}{{5x - 1}};\]

    \[4)\frac{{18 + 6a + 2{a^2}}}{{27 - {a^3}}}\]

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

    \[ = \frac{{18 + 6a + 2{a^2}}}{{27 - {a^3}}} = \frac{{2(9 + 3a + {a^2})}}{{(3 - a)(9 + 3a + {a^2})}} = \]

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

    \[ = \frac{2}{{3 - a}};\]

    \[5)\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 2}}{{{x^3} + 8}}\]

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

    \[\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 2}}{{{x^3} + 8}} = \frac{{({x^3} + 2{x^2}) + (x + 2)}}{{(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}} = \]

    \[ = \frac{{{x^2}(x + 2) + (x + 2)}}{{(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}} = \]

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

    \[ = \frac{{(x + 2)({x^2} + 1)}}{{(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}} = \]

Сокращаем дробь на (x+2):

    \[ = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x + 4}};\]

    \[6)\frac{{{a^5} - {a^3}}}{{{a^5} + {a^6}}}\]

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

    \[\frac{{{a^5} - {a^3}}}{{{a^5} + {a^6}}} = \frac{{{a^3}({a^2} - 1)}}{{{a^5}(1 + a)}} = \]

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

    \[ = \frac{{(a - 1)(a + 1)}}{{{a^2}(1 + a)}} = \]

Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

    \[ = \frac{{a - 1}}{{{a^2}}}.\]

А как сокращать дроби вида

    \[\frac{{a - b}}{{b - a}},\]

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

       

2 комментария

  • Витя:
    10.05.2016 в 16:37

    Очень хороший сайт,каждый день им пользуюсь, и помогает.
    До того как я наткнулся на этот сайт,я не умел многое решать по алгебре, геометрии,но благодаря этому сайту мои оценки а 3 поднялись на 4-5.
    Теперь я могу смело сдавать ОГЭ,и нн боятся что его не сдам!
    Учитесь,и у Вас все получится!

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *