Сумма взаимно-обратных чисел

Сумма положительных взаимно-обратных чисел обладает полезным свойством.

Свойство суммы взаимно-обратных чисел

Доказательство:

Пусть a (a>0) — данное число. Тогда число, обратное данному —

$\frac{1}{a}.$

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

Запишем это неравенство для a и 1/a:

$\frac{{a + \frac{1}{a}}}{2} \ge \sqrt {a \cdot \frac{1}{a}} ,$

откуда

$\frac{{a + \frac{1}{a}}}{2} \ge 1,$

$a + \frac{1}{a} \ge 2,$

то есть сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух.

Что и требовалось доказать.

Равенство достигается при

$a = \frac{1}{a}$

Неравенство для суммы двух взаимно-обратных чисел используется при решении заданий из самых разных разделов алгебры.