Сумма положительных взаимно-обратных чисел обладает полезным свойством.
Свойство суммы взаимно-обратных чисел
Сумма взаимно-обратных чисел не меньше 2.
Доказательство:
Пусть a (a>0) — данное число. Тогда число, обратное данному —
Согласно неравенству о средних, среднее арифметическое чисел не меньше их среднего геометрического:
Запишем это неравенство для a и 1/a:
откуда
и
то есть сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается при
Неравенство для суммы двух взаимно-обратных чисел используется при решении заданий из самых разных разделов алгебры.