Числовые промежутки — это простейшие множества точек на координатной прямой. Применяются также для обозначения различных множеств действительных чисел.
Виды числовых промежутков
1) Интервал
Интервалом (собственным интервалом, промежутком, открытым промежутком) называется множество точек на прямой, заключенных между точками A(a) и B(b), причём сами точки A и B не причисляются к интервалу.
Обозначение (a;b) читают: «интервал от a до b».
Интервал состоит из чисел, удовлетворяющих строгому двойному неравенству a<x<b.
Читают: «x больше a, но меньше b».
На прямой интервал изображается так:
Запись x∈ (a;b) читают : «x принадлежит интервалу от a до b» (или «x принадлежит открытому промежутку от a до b»).
Название происходит от латинского intervallum — промежуток, расстояние.
2) Отрезок
Числовым отрезком (сегментом (от латинского segmentum — отрезок), замкнутым промежутком, закрытым промежутком) называется множество точек прямой, лежащих между точками A(a) и B(b), к которому присоединены сами точки A и B.
Обозначение [a;b] читают: «отрезок от a до b» (или «замкнутый промежуток от a до b»).
Отрезок состоит из чисел, удовлетворяющих нестрогому двойному неравенству a≤x≤b.
Читают: «x больше либо равен a, но меньше либо равен b».
На прямой отрезок изображается так:
Запись x∈ [a;b] читают : «x принадлежит отрезку от a до b» (или «x принадлежит замкнутому промежутку от a до b»).
В случае, когда точки A и B совпадают, отрезок состоит из одной точки:
x∈{a}.
3) Открытый луч
Открытым числовым лучом (бесконечным интервалом, несобственным интервалом) называется множество точек прямой, лежащих по одну сторону от точки A(a), причём сама точка A не причисляется к лучу.
3.1) Если множество точек прямой лежит слева от точки A(a)
Обозначение (-∞;a) читают : «открытый луч от минус бесконечности до a» (или «открытый промежуток от минус бесконечности до a»).
Открытый числовой луч состоит из чисел, удовлетворяющих строгому неравенству x<a.
На прямой такой открытый числовой луч изображается
Запись x∈ (-∞;a) читают : «x принадлежит открытому лучу от минус бесконечности до a» (или «x принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до a»).
3.2) Если множество точек прямой лежит справа от точки A(a)
Обозначение (a; +∞) читают : «открытый луч от a до плюс бесконечности» (или «открытый промежуток от a до бесконечности», знак + в «+∞» часто опускают).
Открытый числовой луч состоит из чисел, удовлетворяющих строгому неравенству x>a.
На прямой такой числовой луч изображается
Запись x∈ (a; +∞) читают: «x принадлежит открытому лучу от от a до плюс бесконечности» (или «x принадлежит открытому промежутку от a до бесконечности»).
3.3) Многоженство всех точек прямой также является открытым лучом
С помощью двойного неравенства это множество записывают как -∞<x<+∞.
На прямой изображается так:
Запись x∈ (-∞; +∞) читают: «x принадлежит открытому лучу от от минус бесконечности до плюс бесконечности» (или «x принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до бесконечности»).
4) Луч
Числовым лучом называется множество точек прямой, лежащих по одну сторону от точки A(a), к которому также присоединена точка A.
3.1) Если множество точек прямой лежит слева от точки A(a)
Обозначение (-∞;a] читают : «луч от минус бесконечности до a» (или «промежуток от минус бесконечности до a, включая a»).
Числовой луч состоит из чисел, удовлетворяющих нестрогому неравенству x≤a.
На прямой этот числовой луч изображается
Запись x∈ (-∞;a] читают : «x принадлежит лучу от минус бесконечности до a» (или «x принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до a, включая a»).
3.2) Если множество точек прямой лежит справа от точки A(a)
Обозначение [a; +∞) читают : «луч от a до плюс бесконечности» (или «промежуток от a до бесконечности, включая a»).
Числовой луч состоит из чисел, удовлетворяющих нестрогому неравенству x≥a.
На прямой такой числовой луч изображается
Запись x∈ [a; +∞) читают: «x принадлежит лучу от от a до плюс бесконечности» (или «x принадлежит промежутку от a до бесконечности, включая a»).
5) Полуинтервал
Полуинтервалом называется называется множество точек на прямой, заключенных между точками A(a) и B(b), к которому присоединена только одна из этих точек.
5.1) Если полуинтервал включает левый конец (точку A(a))
Обозначение [a;b) читают: «полуинтервал от a до b, включая a» (или «промежуток от a до b, включая a»).
Полуинтервал состоит из чисел, удовлетворяющих двойному неравенству a≤x<b.
Читают: «x больше либо равен a, но меньше b».
На прямой такой полуинтервал изображается
Запись x∈ [a;b) читают : «x принадлежит полуинтервалу от a до b, включая a» (или «x принадлежит промежутку от a до b, включая a»).
5.2) Если полуинтервал включает правый конец (точку B(b))
Обозначение (a;b] читают: «полуинтервал от a до b, включая b» (или «промежуток от a до b, включая b»).
Полуинтервал состоит из чисел, удовлетворяющих двойному неравенству a<x≤b.
Читают: «x больше a, но меньше либо равен b».
На прямой этот полуинтервал изображается так:
Запись x∈ (a;b] читают: «x принадлежит полуинтервалу от a до b, включая b» (или «x принадлежит промежутку от a до b, включая b»).
Пустое множество также является промежутком. Оно не содержит ни одной точки.
На числовой прямой такое множество изображают так:
Запись x∈{Ø} читают: «x принадлежит пустому множеству».
Таким образом, принадлежность точки числовому промежутку обозначается квадратной скобкой. На числовой прямой такая точка изображается закрашенной. С переменной её связывает нестрогое неравенство.
Если точка не входит в числовой промежуток, то ей соответствует круглая скобка. На числовой прямой такую точку изображают выколотой (то есть пустой внутри). С переменной она связана строгим неравенством.
Обозначение (a;b) в 1909 г. ввёл профессор Высшей технической школы в Дрездене Г. Ковалевский, [a;b] — в 1921 г. профессор Венского университета Х. Хан (Hahn Hans).
Существует альтернативный вариант круглых скобок: вместо (a;b) пишут ]a;b[, вместо (a;b] — ]a;b] и т. д. Предположительно такие обозначения были введены в 1956 г. Н. Бурбаки (собирательный псевдоним группы математиков из Франции).
Иногда термин «интервал» употребляют в более широком смысле для обозначения числового множества на прямой. В этом случае интервалы подразделяют на собственный интервал (a;b), бесконечные (или несобственные) интервалы (-∞;a), (a;+∞), (-∞;+∞), сегмент [a;b] и полуинтервалы (a;b], [a;b), (-∞;a], [a;+∞).
В литературе на русском языке раньше чаще использовался термин «промежуток». Поскольку в английском языке русским «промежуток» и «интервал» соответствует одно слово «interval», в современной русскоязычной литературе, как правило, используется термин «интервал».