Если в уравнение переменная входит в составе выражения одного и того же вида, то удобно это выражение с переменной обозначить одной буквой — новой переменной. Метод замены переменной используется при решении иррациональных уравнений.
Пример 1.
![\[2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ac9c4551913eaca326c345dc3f60de3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
ОДЗ: x≥0.
Пусть
![\[\sqrt[6]{x} = t,\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8956de963bac2633781a238006f9771_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная находится под знаком корня.
В большинстве случаев в ходе решения иррациональное уравнение сводят к рациональному с помощью некоторых преобразований.
Чаще всего иррациональные уравнения решают с помощью возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень (возможно, несколько раз).
Рассмотрим ещё некоторые задачи на арифметическую прогрессию.
1) Бригада маляров красит забор длиной 620 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 155 метров забора. Определить, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение:
Пусть в первый день бригада покрасила а1 метр забора, во второй — а2 метров и т.д.
Так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров, то длина всего забора представляет собой сумму Sn n членов арифметической прогрессии (аn), Sn=620 м.
Cвежие фрукты содержат a % воды, а высушенные — b%.
Решение задач на сушеные фрукты основано на том, что количество сухого вещества в свежих и сушеных фруктах не меняется.
Задача 1
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 46 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?
Решение:
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 48 минут, второй и третий – за 1 час 10 минут, а первый и третий – за 1 час 20 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Решение:
Примем весь бассейн за 1.
Пусть, работая отдельно, первый насос может наполнить бассейн за x минут, второй — за y минут, третий — за z минут.