Куб разности | Алгебра

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго выражения.

Формула куба суммы:

${(a - b)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$

Другой вариант записи формулы куба разности —

${(a - b)^3} = {a^3} - {b^3} - 3ab(a - b)$

Примеры применения формулы куба разности.

$1){(x - 4)^3} = {x^3} - 3 \cdot {x^2} \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot {4^2} - {4^3} =$

$= {x^3} - 12{x^2} + 48x - 64;$

$2){(5c - 2d)^3} = {(5c)^3} - 3 \cdot {(5c)^2} \cdot 2d +$

$+ 3 \cdot 5c \cdot {(2d)^2} - {(2d)^3} =$

$= 125{c^3} - 150{c^2}d + 60c{d^2} - 8{d^3};$

$3){(10m - 0,1n)^3} =$

$= {(10m)^3} - 3 \cdot {(10m)^2} \cdot 0,1n +$

$+ 3 \cdot 10m \cdot {(0,1n)^2} - {(0,1n)^3} =$

$= 1000{m^3} - 30{m^2}n + 0,3m{n^2} - 0,001{n^3};$

$4){(\frac{3}{5}a - \frac{5}{3}b)^3} = {(\frac{3}{5}a)^3} - 3 \cdot {(\frac{3}{5}a)^2} \cdot \frac{5}{3}b +$

$+ 3 \cdot \frac{3}{5}a \cdot {(\frac{5}{3}b)^2} - {(\frac{5}{3}b)^3} =$

$= \frac{{27}}{{125}}{a^3} - \frac{9}{5}{a^2}b + 5a{b^2} - \frac{{125}}{{27}}{b^3}.$

Как и другие формулы сокращённого умножения, куб разности — тождество, то есть формулу можно использовать как для разложения куба разности в многочлен, так и сворачивания соответствующего многочлена в куб разности:

${a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} = {(a - b)^3}$

Первый раз формула куба разности встречается в курсе алгебры 7 класса как одна из формул сокращенного умножения (в качестве дополнительного материала). Затем — в курсе комбинаторики, как бином Ньютона.

Добавить комментарий Отменить ответ