Свойства степеней

Основные свойства степеней задаются формулами:

    \[1){a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}\]

(При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают).

    \[2){a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\]

(При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя).

    \[3){({a^m})^n} = {a^{m \cdot n}}\]

(При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают).

    \[4){(ab)^n} = {a^n}{b^n}\]

(При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают).

    \[5){(\frac{a}{b})^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\]

(При возведении в степень частного возводят в эту степень и делимое, и делитель, результаты делят).

Кроме того,

    \[{a^0} = 1\]

(где a≠0)

    \[{a^1} = a\]

Если n — натуральное число, то

    \[{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}},\]

в частности,

    \[{a^{ - 1}} = \frac{1}{a}\]

    \[{(\frac{a}{b})^{ - n}} = {(\frac{b}{a})^n},\]

в частности,

    \[{(\frac{a}{b})^{ - 1}} = \frac{b}{a}\]

Для a>0

    \[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

В частности,

    \[{a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a .\]

    \[\begin{array}{l} npu\\ {\rm{r}} > {0,0^r} = 0. \end{array}\]

В школьном курсе алгебры свойства степеней изучаются на протяжении нескольких лет: сначала для степени с натуральным показателем, затем — для степени с целым показателем,  далее — для степени с рациональным и иррациональным показателем.

Свойства степеней с натуральным и целым показателем верны и для степеней с рациональными и иррациональными показателем, но накладывается дополнительное условие: основания степеней в этом случае должны быть положительными.

По определению,  для любого α

    \[{1^\alpha } = 1.\]

       

1 комментарий

  • Илья:

    вы забыли ещё два важных свойства степеней: a в степени b не равно b в степени a, то есть возведение в степень неперестановочно. Также возведение в степень не обладает сочетательным свойством

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>