В уравнении сумма равна 0

Мы уже рассматривали уравнения, равные нулю (типа «произведение равно нулю»). К виду «произведение равно нулю» сводятся многие уравнения из разных разделов алгебры.

Если в уравнении сумма равна нулю, в некоторых случаях его можно решить, применяя следующее свойство функций:

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю.

Таким образом, уравнение

    \[{f_1}(x) + {f_2}(x) + ... + {f_n}(x) = 0,\]

где

    \[{f_1}(x) \ge 0;\]

    \[{f_2}(x) \ge 0;\]

    \[...\]

    \[{f_n}(x) \ge 0\]

равносильно системе уравнений

    \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {f_1}(x) = 0\\ {f_2}(x) = 0\\ ...\\ {f_n}(x) = 0. \end{array} \right.\]

В частности,

    \[1){x^{2n}} \ge 0,\]

    \[2)\sqrt[{2n}]{x} \ge 0,\]

где 2n — чётное натуральное число

    \[3)\left| x \right| \ge 0\]

    \[4)\arccos x \ge 0.\]

Примеры уравнений, решение которых основано на этом свойстве функций.

    \[1)\left| {2{x^2} - 5x + 2} \right| + \left| {{x^2} - 4} \right| = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Сумма модулей равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} \left| {2{x^2} - 5x + 2} \right| = 0\\ \left| {{x^2} - 4} \right| = 0 \end{array} \right.\]

Найдём корни каждого уравнения:

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 2;{x_2} = 0,5;\\ {x_1} = 2;{x_2} = - 2. \end{array} \right.\]

Оба модуля обращаются в нуль при x=2.

Ответ: 2.

    \[2)\sqrt {8 - 2x - {x^2}} + \sqrt {3x + 12} = 0\]

ОДЗ: x∈[-4;2].

Сумма корней чётной степени равна нулю, если каждое из слагаемых рано нулю. Следовательно, это уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {8 - 2x - {x^2}} = 0;\\ \sqrt {3x + 12} = 0. \end{array} \right.\]

Решаем каждое уравнение:

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = - 4;{x_2} = 2;\\ x = - 4. \end{array} \right.\]

Оба слагаемых обращаются в нуль при x= -4.

Ответ: -4.

Для нахождения корней достаточно решить только одно из уравнений и проверить, удовлетворяют ли полученные корни остальным уравнениям системы.

    \[3)\left| {9x - {x^2}} \right| + \sqrt[4]{{{x^2} - 10x + 9}} + {(x - 9)^2} = \]

    \[ = 0\]

ОДЗ: x∈(-∞; 1]U[9; ∞).

Сумма неотрицательных функций равна нулю, если каждая каждая из функций равна нулю:

    \[\left\{ \begin{array}{l} \left| {9x - {x^2}} \right| = 0;\\ \sqrt[4]{{{x^2} - 10x + 9}} = 0;\\ {(x - 9)^2} = 0. \end{array} \right.\]

Корень третьего уравнения - x=9 - удовлетворяет также 1-му и 2-му уравнениям системы.

Ответ: 9.

    \[4){\cos ^2}\frac{{\pi x}}{2} + \sqrt {1 - {x^2}} = 0\]

ОДЗ: x∈[-1; 1].

Правая часть уравнений — сумма неотрицательных функций. Соответственно, уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} {\cos ^2}\frac{{\pi x}}{2} = 0;\\ \sqrt {1 - {x^2}} = 0. \end{array} \right.\]

Корни второго уравнения

    \[\sqrt {1 - {x^2}} = 0\]

x=1 и x= -1. Оба корня удовлетворяют и первому уравнению.

Ответ: ±1.

Как в другие уравнения из курса алгебры, решаемые с применением свойств функций,  уравнения, в которых сумма неотрицательных функций равна нулю, при первом рассмотрении могут производить впечатление сложных. На самом деле, решить их достаточно просто, если помнить соответствующий теоретический материал.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>